Funções Trigonométricas: Gráficos e Exercícios
Aprenda gráficos de seno, cosseno e tangente, amplitude, período, fase, domínio e imagem com exemplos resolvidos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Interpretar os gráficos e as imagens de seno, cosseno e tangente
- Calcular período, amplitude, fase e deslocamento vertical
- Relacionar funções periódicas a modelos e verificar assíntotas
Entenda o assunto
Aprenda gráficos de seno, cosseno e tangente, amplitude, período, fase, domínio e imagem com exemplos resolvidos e exercícios comentados.
O objetivo é compreender o significado geométrico, identificar as condições de aplicação e justificar cada resultado. Todos os exercícios trazem resposta comentada na própria página, inclusive sem JavaScript.
O que define uma função periódica?
Uma função é periódica quando repete os valores de saída após um deslocamento constante e positivo na entrada. O menor deslocamento positivo com essa propriedade é chamado período fundamental.
Para f(x)=sen x e g(x)=cos x, a repetição ocorre a cada 2π radianos; para tangente, a repetição ocorre a cada π. Os gráficos registram esse padrão de maneira visual.
O gráfico de y=sen x
A curva do seno começa em (0,0), atinge máximo 1 em π/2, retorna a 0 em π, chega ao mínimo −1 em 3π/2 e volta a 0 em 2π.
A altura do gráfico representa a coordenada vertical no círculo unitário, enquanto x representa o ângulo em radianos. O domínio é todo o conjunto real e a imagem está entre −1 e 1.
O gráfico de y=cos x
O cosseno inicia em (0,1), cruza o eixo em π/2, alcança −1 em π e retorna a 1 em 2π. É a projeção horizontal do movimento pelo círculo unitário.
O gráfico do cosseno possui mesma forma e mesmo período que o seno, mas com deslocamento horizontal de π/2. Essa conexão é expressa por cos x=sen(x+π/2).
O gráfico de y=tg x
A tangente é o quociente sen x/cos x, de modo que seu gráfico não tem pontos nos valores x=π/2+kπ. Nesses lugares aparecem assíntotas verticais.
Entre −π/2 e π/2, a curva é crescente, passa pela origem e aproxima-se de valores sem limite quando se aproxima das assíntotas. Seu período fundamental é π e sua imagem é ℝ.
Amplitude e deslocamento vertical
Na função y=A sen x, a amplitude é |A|, que mede a distância entre a linha média e um valor extremo. Multiplicar o seno por A não altera o período fundamental se A≠0.
Para y=3 sen x+2, a linha média é y=2, o valor máximo é 5 e o mínimo é −1. O deslocamento vertical não altera a amplitude, que continua igual a 3.
Período e coeficiente interno
Para y=A sen(Bx+C)+D, com A e B não nulos, o período é 2π/|B|. O fator B determina quantas oscilações cabem no mesmo intervalo horizontal.
Por exemplo, sen(2x) completa duas voltas gráficas no intervalo de 0 a 2π e tem período π. A função cos(x/2) tem período 4π; um B menor em módulo alonga o gráfico.
Deslocamentos de fase e de nível
Escrevendo A sen(B(x−h))+D, o valor h indica deslocamento horizontal para a direita se h>0, e D desloca o gráfico para cima ou para baixo.
Na expressão sen(x−π/2), o gráfico é deslocado π/2 para a direita em relação a sen x. É importante colocar o fator B em evidência antes de interpretar a fase.
Simetrias dos gráficos
O seno é função ímpar: sen(−x)=−sen x, com simetria em relação à origem. O cosseno é par: cos(−x)=cos x, com simetria em relação ao eixo vertical.
A tangente também é ímpar onde está definida. Essas propriedades permitem completar metade de um desenho gráfico por simetria e revisar sinais de valores em ângulos negativos.
Modelos de fenômenos que oscilam
Uma expressão como h(t)=2+3 sen(πt/6) descreve uma grandeza idealizada que oscila em torno de 2, com amplitude 3 e período 12 unidades de tempo.
Modelos senoidais podem aproximar fenômenos periódicos, mas é necessário interpretar unidades, valores máximos e limites físicos. Nem toda situação periódica é exatamente senoidal.
Conferência de domínio, unidade e escala
Ao ler um gráfico, diferencie período da distância entre o máximo e o mínimo: esta última é metade do período para seno e cosseno sem transformações.
Use radianos quando a expressão contém π e confirme as unidades indicadas nos eixos. No caso da tangente, não desenhe segmentos atravessando assíntotas como se a curva fosse contínua.
Passo a passo
- 01
Identifique se a função usa seno, cosseno ou tangente e registre seu domínio.
- 02
Separe os parâmetros A, B, C e D na expressão original.
- 03
Calcule amplitude |A| e período 2π/|B| para seno/cosseno, ou π/|B| para tangente.
- 04
Encontre linha média, deslocamento horizontal e pontos característicos do gráfico.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Seno básico
De 0 a 2π, sen x passa por (0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,−1) e (2π,0).
Cosseno básico
A função cos x inicia em 1, alcança −1 em π e retorna a 1 em 2π; seu gráfico é um seno deslocado.
Amplitude 3
Em y=3 sen x, o maior valor é 3, o menor é −3, a linha média é zero e o período é 2π.
Alteração de período
A função y=sen(2x) completa um ciclo a cada π radianos, metade do período de sen x.
Mudança de nível
Em y=2 cos x+1, a linha média é y=1, a amplitude é 2, o máximo é 3 e o mínimo é −1.
Assíntota da tangente
A função tg x não existe em x=π/2+kπ; sua curva cruza a origem e tem período π.
Modelo periódico idealizado
Para y=2+3 sen(πt/6), a amplitude é 3, a linha média é 2 e o período vale 12 unidades de t.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Funções Trigonométricas
Toda função periódica é senoidal?
Não. Uma função pode repetir seus valores e ter outra forma de onda. As funções seno e cosseno são exemplos importantes de periodicidade.
Qual é o período de seno e cosseno?
Em suas formas básicas, sen x e cos x têm período fundamental 2π radianos ou 360°, pois seus valores se repetem após uma volta.
O que é amplitude?
A amplitude mede a distância vertical entre a linha média e um máximo ou mínimo de uma função senoidal da forma A sen(Bx+C)+D.
Por que a tangente possui assíntotas?
Porque tg x=sen x/cos x, e há ângulos em que cos x=0. Nesses ângulos a função não está definida.
O que significa o B em sen(Bx)?
O módulo de B altera o período: quanto maior |B|, menor 2π/|B| e mais rápido o gráfico completa uma oscilação.
O que é uma função par ou ímpar?
Uma função par satisfaz f(−x)=f(x), como o cosseno; uma função ímpar satisfaz f(−x)=−f(x), como o seno.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 6.2 Graphs of the Other Trigonometric Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 7.6 Modeling with Trigonometric Functions — OpenStax — Precalculus 2e