Distância entre Dois Pontos: Fórmula e Exercícios
Aprenda a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, sua demonstração por Pitágoras, exemplos com sinais e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Identificar variações horizontal e vertical
- Deduzir a fórmula pelo Teorema de Pitágoras
- Calcular distâncias e verificar casos especiais
Entenda o assunto
A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os liga no plano cartesiano. A explicação une representação gráfica, fundamento matemático e exemplos verificados.
Em um plano cartesiano, dois pontos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) determinam um segmento de reta. A distância euclidiana é o comprimento desse segmento, isto é, o menor caminho retilíneo entre eles no plano.
O que significa distância entre dois pontos?
Em um plano cartesiano, dois pontos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) determinam um segmento de reta. A distância euclidiana é o comprimento desse segmento, isto é, o menor caminho retilíneo entre eles no plano.
A distância não depende de qual ponto é chamado A ou B e nunca é negativa. É uma medida de comprimento, por isso mantém a unidade das coordenadas quando elas representam metros, centímetros ou outra medida linear.
Como identificar as diferenças horizontal e vertical?
A diferença horizontal é Δx=x₂−x₁ e a vertical é Δy=y₂−y₁. Essas diferenças podem ser negativas, mas seus quadrados são não negativos e registram os comprimentos dos catetos no triângulo auxiliar.
Por exemplo, entre A(1,2) e B(4,6), encontramos Δx=3 e Δy=4. Basta olhar as variações dos eixos; não é preciso medir o comprimento da diagonal com régua.
Por que a fórmula vem do Teorema de Pitágoras?
Trace segmentos horizontal e vertical entre as posições dos dois pontos. Eles formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é exatamente o segmento AB. Aplicando Pitágoras, obtemos d²=(Δx)²+(Δy)².
Como distância é um comprimento não negativo, escolhemos a raiz quadrada não negativa. Isso deduz a fórmula no plano sem exigir que o segmento esteja paralelo a algum dos eixos.
Exemplo com deslocamentos 3 e 4
Considere A(1,2) e B(4,6). O deslocamento horizontal é 4−1=3 e o vertical é 6−2=4; portanto d=√(3²+4²)=√25=5 unidades.
O resultado 5 é coerente com um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Verifique que a diagonal é maior que cada cateto, mas menor que a soma deles.
Como calcular com números negativos?
Se A(−2,−1) e B(1,3), então Δx=1−(−2)=3 e Δy=3−(−1)=4. Preste atenção aos parênteses: subtrair um número negativo equivale a somá-lo.
Os quadrados anulam o efeito do sinal na distância final. Você também pode inverter a ordem dos pontos e obter Δx=−3 e Δy=−4: a distância continuará 5.
Casos especiais: segmento horizontal ou vertical
Se dois pontos têm a mesma ordenada y, a distância é a diferença absoluta entre suas abscissas: d=|x₂−x₁|. Se têm a mesma abscissa x, então d=|y₂−y₁|.
Esses casos não exigem raiz quadrada trabalhosa. Por exemplo, A(−3,2) e B(5,2) estão em uma reta horizontal e distam 8 unidades.
Propriedades da distância
A distância de A a B é igual à de B a A, pois trocar a ordem muda apenas o sinal das diferenças. Quando A e B coincidem, ambas as diferenças são zero e a distância é zero.
Além disso, a distância direta nunca excede a soma das distâncias passando por um terceiro ponto C. Essa propriedade é chamada desigualdade triangular e ajuda a conferir resultados.
Aplicações em mapas, desenho e programação
A fórmula aparece em plantas cartesianas, geometria analítica, gráficos computacionais e sistemas de coordenadas locais. Ela mede a separação em linha reta entre duas posições no mesmo sistema de unidades.
Em uma cidade com ruas em grade, o trajeto real pelas ruas pode ser maior que essa distância. A fórmula não substitui automaticamente caminhos por vias nem distâncias sobre a superfície curva da Terra.
Erros frequentes na fórmula de distância
Um erro comum é somar Δx e Δy sem elevar ao quadrado; outro é retirar a raiz ou usar x₁−y₁ em lugar de x₂−x₁. Mantenha as coordenadas organizadas por eixo.
As coordenadas devem estar na mesma unidade antes do cálculo. Se uma medida estiver em centímetros e outra em metros, converta-as; a soma de quadrados de grandezas incompatíveis não tem interpretação correta.
Relação com o ponto médio e a equação da reta
Distância mede comprimento, enquanto ponto médio localiza a posição central do segmento e a equação da reta descreve todos os pontos alinhados. São três perguntas diferentes sobre os mesmos objetos geométricos.
O modelo adotado aqui é o plano cartesiano euclidiano. Em outras geometrias ou métricas, como a distância percorrida apenas pelas ruas de uma malha, o cálculo pode ser diferente.
Passo a passo
- 01
Escreva os pontos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) em pares ordenados.
- 02
Calcule Δx=x₂−x₁ e Δy=y₂−y₁, respeitando sinais e parênteses.
- 03
Some os quadrados (Δx)²+(Δy)² e obtenha a raiz quadrada não negativa.
- 04
Confira se a distância é não negativa e se faz sentido no desenho.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Triângulo 3–4–5 no plano
Para A(1,2) e B(4,6), Δx=3 e Δy=4. Portanto d=√(3²+4²)=√25=5 unidades.
Pontos com coordenadas negativas
De A(−2,−1) a B(1,3), os deslocamentos são 3 e 4; a distância é √(9+16)=5, ainda que as coordenadas iniciais sejam negativas.
Segmento horizontal
Entre A(−3,2) e B(5,2), y é constante. Então d=|5−(−3)|=8 unidades, sem precisar construir um triângulo.
Segmento vertical
De A(2,−4) até B(2,3), x permanece 2 e o deslocamento vertical é 7; a distância é |3−(−4)|=7 unidades.
Distância com raiz não inteira
A(0,0) e B(1,1) estão separados por d=√(1²+1²)=√2≈1,414 unidade. Mantenha √2 como valor exato quando possível.
Troca de ordem dos pontos
Para A(0,0) e B(6,8), d=√(36+64)=10. Se inverter A e B, surgem diferenças −6 e −8, mas a distância continua 10.
Distância entre pontos coincidentes
Quando A(3,−2) e B(3,−2), as duas diferenças são zero; logo d=√0=0. Um segmento com extremidades iguais tem comprimento zero.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Distância entre Dois Pontos
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
No plano cartesiano, d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²], com os pares de coordenadas medidos na mesma unidade.
De onde vem a fórmula da distância?
Ela é obtida pelo Teorema de Pitágoras, usando como catetos as diferenças horizontal e vertical entre os pontos.
A distância entre pontos pode ser negativa?
Não. O comprimento é sempre não negativo; coordenadas ou deslocamentos negativos são elevados ao quadrado na fórmula.
Como calcular quando os pontos estão na mesma horizontal?
Se y₁=y₂, basta calcular o valor absoluto da diferença das abscissas: d=|x₂−x₁|.
O que significa distância zero?
Significa que os dois pontos coincidem: têm as mesmas coordenadas x e y no plano.
A distância no plano é igual ao caminho feito na rua?
Não necessariamente. Ela é o segmento em linha reta; ruas e obstáculos podem exigir trajetos maiores.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 2.1 The Rectangular Coordinate Systems and Graphs — OpenStax — College Algebra 2e
- Chapter 2 Key Equations — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e