Equação da Circunferência: Centro, Raio e Exercícios
Entenda a equação da circunferência, deduza a fórmula pela distância entre pontos, identifique centro e raio e resolva exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Deduzir a forma reduzida pela fórmula da distância
- Determinar centro e raio a partir de equações
- Classificar pontos internos, externos e do contorno
Entenda o assunto
A equação da circunferência representa todos os pontos que estão à mesma distância de um centro no plano cartesiano. Estude os fundamentos, os casos particulares e a interpretação geométrica antes de aplicar as fórmulas.
A circunferência é o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo, o centro, é igual a um número positivo chamado raio. O círculo é a região limitada por esse contorno, incluindo seu interior.
O que é a equação de uma circunferência?
A circunferência é o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo, o centro, é igual a um número positivo chamado raio. O círculo é a região limitada por esse contorno, incluindo seu interior.
Em geometria analítica, a equação traduz essa propriedade de distância para coordenadas cartesianas. Um ponto satisfaz a igualdade exatamente quando está no contorno; os pontos interiores obedecem a uma desigualdade estrita.
Centro, raio e forma reduzida
Se o centro é C(h,k) e o raio é r>0, a circunferência tem equação (x−h)²+(y−k)²=r². Os sinais dentro dos parênteses são opostos aos valores das coordenadas do centro.
Na equação (x−2)²+(y+1)²=9, a leitura correta é centro (2,−1) e raio 3. O lado direito guarda o quadrado do raio, não o próprio comprimento do raio.
Dedução da fórmula pelo Teorema de Pitágoras
Um ponto P(x,y) pertence à circunferência quando a distância entre P e o centro C(h,k) vale r. Pela fórmula da distância, √[(x−h)²+(y−k)²]=r; elevando ambos os lados ao quadrado, surge a equação reduzida.
Essa dedução liga circunferência, geometria analítica e Teorema de Pitágoras. Como o raio é não negativo, elevar a igualdade ao quadrado não altera o conjunto de soluções geométricas.
Caso particular: centro na origem
Quando o centro é (0,0), as coordenadas h e k são nulas. A expressão fica x²+y²=r², forma especialmente simples para verificar se um ponto está a uma distância fixa da origem.
Se r=5, o ponto (3,4) pertence ao contorno porque 3²+4²=25. Já (0,0) não pertence a essa circunferência: está no interior, pois a distância ao centro é zero.
Como montar a equação usando um ponto da circunferência
Se o centro é conhecido e recebemos um ponto do contorno, calcule primeiro o raio pela fórmula de distância. Depois substitua h, k e r² na forma reduzida para obter uma equação exata.
Para centro (1,2) e ponto (4,6), as diferenças são 3 e 4. O raio vale √(9+16)=5, de modo que a equação é (x−1)²+(y−2)²=25.
Forma geral e completar quadrados
Desenvolvendo os quadrados, chegamos a x²+y²+Dx+Ey+F=0, em que os coeficientes de x² e y² são iguais e não aparece termo xy. Para recuperar centro e raio, agrupamos as potências por variável e completamos quadrados.
Por exemplo, x²+y²−4x+2y−4=0 torna-se (x−2)²+(y+1)²=9. Só representa circunferência real não degenerada quando o raio ao quadrado obtido é positivo.
Classificação de pontos pela distância ao centro
Calcule L=(x−h)²+(y−k)² para o ponto de interesse. Se L=r², ele está na circunferência; se L<r², está dentro do círculo; e se L>r², está fora da região circular.
Na circunferência de centro (2,−1) e raio 3, o ponto (2,3) tem L=16 e está fora; o próprio centro tem L=0 e está dentro. Essas comparações evitam a necessidade de desenhar cada caso.
Raio, diâmetro e unidades
O diâmetro é o dobro do raio: d=2r. Se o enunciado fornece diâmetro de 10 cm, o raio mede 5 cm e a equação usa r²=25, não 100. O centro também deve ser expresso nas mesmas unidades.
As coordenadas e o raio têm unidade de comprimento, enquanto os termos quadráticos têm unidade ao quadrado. A equação geométrica continua válida desde que os valores usem um único sistema de unidades.
Quando a equação não representa uma circunferência usual
Se a forma reduzida produzir r²<0, não existem pontos reais que satisfaçam a igualdade; se r²=0, a solução é um único ponto, caso degenerado. Uma circunferência propriamente dita requer r>0.
Nem toda equação com x² e y² descreve uma circunferência: coeficientes quadráticos diferentes, por exemplo, podem gerar outra curva. É necessário identificar a estrutura algébrica completa.
Aplicações e conexão com a distância ponto-reta
A equação da circunferência ajuda a modelar regiões de alcance, peças circulares, desenhos técnicos e trajetórias idealizadas. Sua utilidade vem de transformar uma condição de distância em uma igualdade verificável.
Quando combinamos circunferências com retas, a distância do centro até a reta indica se há dois pontos de interseção, um ponto de tangência ou nenhum ponto em comum. Esse resultado conecta esta aula às demais de Geometria Analítica.
Passo a passo
- 01
Identifique o centro C(h,k) e o raio, ou um ponto do contorno.
- 02
Caso o raio seja desconhecido, calcule sua distância até o centro.
- 03
Escreva (x−h)²+(y−k)²=r², cuidando dos sinais.
- 04
Confira substituindo as coordenadas de um ponto conhecido da circunferência.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Centro (2,−1), raio 3
Usando h=2, k=−1 e r=3, a equação é (x−2)²+(y+1)²=9.
Centro na origem e raio 4
Para C(0,0), temos x²+y²=4²=16; o ponto (4,0) pertence ao contorno.
Centro (−2,1), raio 3
A troca de sinal nos parênteses produz (x+2)²+(y−1)²=9.
Centro (1,2), ponto (4,6)
A distância entre centro e ponto é 5; logo (x−1)²+(y−2)²=25.
Forma geral para forma reduzida
x²+y²−4x+2y−4=0 equivale a (x−2)²+(y+1)²=9, com centro (2,−1) e raio 3.
Ponto fora do contorno
Na circunferência (x−2)²+(y+1)²=9, P(2,3) produz 0+16=16>9; portanto P está no exterior.
Do diâmetro ao raio
Uma circunferência de diâmetro 10 tem raio 5. Se o centro é a origem, a equação correta é x²+y²=25.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Equação da Circunferência
A equação descreve o círculo todo?
A igualdade descreve apenas a circunferência, ou seja, o contorno. A região interna usa (x−h)²+(y−k)²<r²; com o contorno incluído, usa-se ≤.
Como identificar centro e raio na equação?
Na forma (x−h)²+(y−k)²=r², o centro é (h,k) e o raio é a raiz quadrada positiva do lado direito.
Por que aparece o raio ao quadrado?
A equação é deduzida da fórmula da distância, baseada no Teorema de Pitágoras, depois que elevamos ambos os lados ao quadrado.
Como descobrir se um ponto pertence ao contorno?
Substitua suas coordenadas na expressão da esquerda. O ponto pertence à circunferência se a soma for exatamente igual a r².
Qual é a forma geral de uma circunferência?
Quando os coeficientes quadráticos são um, a forma geral é x²+y²+Dx+Ey+F=0, desde que o raio real obtido por completar quadrados seja positivo.
O que acontece quando o raio é zero?
A igualdade reduz-se ao centro como único ponto. É um caso degenerado, não uma circunferência de raio positivo.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 11.1 Distance and Midpoint Formulas; Circles — OpenStax — Intermediate Algebra 2e
- 0.2 Analytic Geometry — Mathematics LibreTexts — Mount Royal University