Equações Polinomiais: Raízes, Métodos e Exercícios
Entenda o que são equações polinomiais, como encontrar raízes por fatoração, teorema do resto e divisão, com exemplos e exercícios.
O que você vai aprender
- Distinguir raízes reais de raízes complexas e reconhecer multiplicidades
- Resolver equações polinomiais por fatores e divisão
- Usar os teoremas do resto e do fator para verificar soluções
Entenda o assunto
Resolver uma equação polinomial é encontrar os valores que tornam um polinômio igual a zero, respeitando o conjunto de soluções.
Nesta aula você aprenderá os fundamentos do assunto, compreenderá por que as regras funcionam, verá cálculos resolvidos e poderá praticar com respostas explicadas sem sair desta página.
O que é uma equação polinomial e o que significa resolvê-la?
Uma equação polinomial é uma igualdade P(x)=0, na qual P é um polinômio. Resolver significa encontrar todos os valores de x, no conjunto numérico especificado, que fazem a expressão resultar em zero. Uma mesma equação pode ter nenhuma raiz real, embora possua raízes complexas.
Em x²−5x+6=0, temos (x−2)(x−3)=0 e, portanto, x=2 ou x=3. É importante distinguir o polinômio P(x)=x²−5x+6 da equação P(x)=0: o primeiro produz valores para cada x, enquanto a segunda pede os zeros desse valor.
Quantas raízes pode ter uma equação de grau n?
Um polinômio não nulo de grau n não pode ter mais de n raízes distintas. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, tem exatamente n raízes complexas se contarmos as multiplicidades. Isso não significa que todas sejam reais ou que sejam n números diferentes.
Por exemplo, (x−1)²(x+2)=0 é de grau três, mas possui apenas duas raízes distintas, 1 e −2. A raiz 1 aparece duas vezes na fatoração e por isso é chamada raiz de multiplicidade dois.
Por que a fatoração resolve equações polinomiais?
Se um produto de números reais ou complexos é igual a zero, pelo menos um de seus fatores é zero. Assim, (x−4)(x+1)=0 equivale a x−4=0 ou x+1=0. As duas soluções são 4 e −1.
A regra do produto nulo só deve ser aplicada depois de escrever um produto igual a zero. Na equação (x−4)(x+1)=8, por exemplo, não podemos simplesmente igualar os fatores a zero; é preciso antes reorganizar a igualdade.
Como retirar fator comum ao resolver uma equação?
Considere x³−4x²=0. Os dois termos possuem x² como fator: x²(x−4)=0. Pelo produto nulo, x=0 ou x=4; x=0 tem multiplicidade dois, mas é uma única solução distinta.
Dividir a equação por x² diretamente pode eliminar a solução x=0. O procedimento seguro é fatorar e analisar todos os fatores, inclusive aqueles que podem ser iguais a zero.
Como verificar se um número é raiz usando P(a)?
O teorema do fator diz que a é raiz de P se, e somente se, x−a é um fator do polinômio. Para P(x)=x³−6x²+11x−6, calculamos P(1)=1−6+11−6=0; então x−1 é um fator.
A demonstração usa a identidade da divisão: P(x)=(x−a)Q(x)+r. Substituir x=a produz P(a)=r; portanto P(a)=0 equivale a resto zero. Esse resultado orienta a busca de fatores lineares.
Como reduzir o grau com a divisão sintética?
Conhecendo uma raiz a, dividimos P(x) por x−a para obter um polinômio de grau menor. No exemplo P(x)=x³−6x²+11x−6, a divisão por x−1 produz x²−5x+6, que se fatora como (x−2)(x−3).
Por isso P(x)=(x−1)(x−2)(x−3) e as raízes são 1, 2 e 3. Ao aplicar a divisão sintética, inclua coeficientes zero dos termos ausentes; caso contrário, as posições das colunas ficam erradas.
Como testar possíveis raízes racionais?
Para polinômios com coeficientes inteiros e coeficiente líder não nulo, uma possível raiz racional p/q, em forma irredutível, deve ter p dividindo o termo constante e q dividindo o coeficiente líder. Isso limita os candidatos, mas não garante que sejam raízes.
Na equação 2x²−5x+2=0, os candidatos incluem ±1, ±2 e ±1/2. Substituindo, encontramos P(2)=0 e P(1/2)=0; logo as soluções são 2 e 1/2. É importante conferir cada candidato.
O que a multiplicidade de uma raiz informa sobre o gráfico?
Uma raiz a tem multiplicidade m quando o fator (x−a) aparece exatamente m vezes na decomposição. No gráfico de uma função polinomial real, multiplicidade par costuma corresponder a tocar o eixo horizontal sem trocar de sinal; multiplicidade ímpar faz a função trocar de sinal.
Por exemplo, y=(x−2)²(x+1) toca o eixo em x=2 e atravessa em x=−1. Essa interpretação vale para o comportamento local do polinômio real próximo das raízes; ela não substitui a verificação algébrica da multiplicidade.
Por que algumas equações não possuem soluções reais?
A equação x²+4=0 implica x²=−4. Não há número real cujo quadrado seja negativo; por isso o conjunto-solução real é vazio. No conjunto dos complexos, porém, as soluções são 2i e −2i, pois i²=−1.
Se um polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa não real a+bi, então seu conjugado a−bi também é raiz. Essa propriedade explica por que raízes não reais de polinômios reais surgem aos pares.
Qual sequência de passos evita perder ou inventar raízes?
Primeiro escreva a equação com zero de um lado. Em seguida, procure fator comum, produtos notáveis e fatores evidentes; se necessário, teste candidatos racionais e reduza o grau por divisão. Resolva os fatores restantes e registre o conjunto numérico considerado.
Por fim, substitua cada valor encontrado no polinômio original. Se a equação veio de uma expressão com restrições, confira também o domínio. Não conte uma raiz dupla duas vezes quando a pergunta pede valores distintos de x.
Passo a passo
- 01
Reescreva a equação com o polinômio igual a zero.
- 02
Fatore termos comuns, produtos notáveis ou identifique fatores possíveis.
- 03
Resolva cada fator igual a zero e considere multiplicidades e o domínio.
- 04
Substitua as raízes no polinômio original para confirmar o conjunto-solução.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Equação do segundo grau por fatoração
x²−7x+12=0 equivale a (x−3)(x−4)=0. Pelo produto nulo, as raízes reais são 3 e 4.
Equação cúbica com fator comum
x³−9x=0 pode ser escrita como x(x²−9)=x(x−3)(x+3)=0. As raízes são −3, 0 e 3.
Raiz repetida
(x−2)²(x+1)=0 possui raízes distintas 2 e −1. A raiz 2 tem multiplicidade 2; o grau total do produto é 3.
Testando uma raiz pelo resto
P(x)=x³−6x²+11x−6. Como P(1)=1−6+11−6=0, o fator x−1 divide P(x) sem resto.
Divisão e raízes restantes
Dividindo x³−6x²+11x−6 por x−1, obtemos x²−5x+6=(x−2)(x−3). Logo as três raízes são 1, 2 e 3.
Equação com solução fracionária
2x²−5x+2=(2x−1)(x−2). Igualando cada fator a zero, encontramos x=1/2 ou x=2.
Equação sem solução real
x²+9=0 não admite raízes reais. No conjunto complexo, x=3i e x=−3i; especificar o conjunto evita ambiguidade.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Equações Polinomiais
Qual é a diferença entre polinômio e equação polinomial?
O polinômio é a expressão algébrica; a equação polinomial surge quando igualamos essa expressão a zero para procurar seus valores de anulação.
Um polinômio de grau três tem sempre três raízes reais?
Não. Ele tem três raízes complexas quando contamos multiplicidades, mas pode ter apenas uma raiz real distinta e duas complexas não reais.
Como sei se x−a é fator de P(x)?
Calcule P(a). Se o resultado for zero, x−a divide o polinômio sem resto; se não for zero, não é um fator.
Posso dividir uma equação por x sem verificar x=0?
Não. Se x for zero, a divisão não está definida e pode eliminar uma solução válida. Prefira fatorar x e usar a regra do produto nulo.
O que é uma raiz dupla de um polinômio?
É um zero cujo fator linear correspondente aparece duas vezes na fatoração. Conta duas vezes na multiplicidade, mas uma vez na lista de soluções distintas.
Por que devo informar se procuro raízes reais ou complexas?
Porque equações como x²+1=0 não possuem solução em números reais, mas possuem soluções imaginárias ±i no conjunto dos complexos.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 5.5 Zeros of Polynomial Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 5.4 Dividing Polynomials — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.3 Power Functions and Polynomial Functions — OpenStax — Precalculus 2e