Inequações do 1º Grau: teoria, reta e exercícios
Aprenda a resolver inequações do primeiro grau, representar intervalos na reta e entender quando inverter o sinal de desigualdade.
O que você vai aprender
- Distinguir equações de inequações
- Resolver desigualdades com números positivos e negativos
- Representar a solução por intervalos e na reta
Entenda o assunto
Inequações do primeiro grau são desigualdades que envolvem a variável na primeira potência, como 2x + 3 > 11. Diferentemente de equações, suas soluções costumam formar conjuntos de números.
Elas podem envolver maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). Ao multiplicar ou dividir por número negativo, inverta o sinal: essa regra reflete a ordem na reta numérica.
O que é uma inequação do 1º grau?
Uma inequação expressa uma comparação entre duas expressões por meio de símbolos como >, <, ≥ ou ≤. Em 2x + 3 > 11, procuramos todos os valores de x que tornam a afirmação verdadeira.
A diferença em relação a uma equação é que a solução costuma ser um intervalo de números, não um resultado isolado. O primeiro grau indica que a maior potência da variável, após simplificação adequada, é um.
O que significam maior, menor, maior ou igual e menor ou igual?
O símbolo > representa estritamente maior, enquanto < indica estritamente menor. Já ≥ e ≤ incluem também a igualdade, o que muda se o número de fronteira pertence ao conjunto solução.
Por exemplo, x > 3 não aceita o próprio 3, mas x ≥ 3 aceita. Essa distinção aparece na reta numérica como círculo aberto para limite excluído e círculo fechado para limite incluído.
Por que somar ou subtrair preserva o sinal da desigualdade?
Somar a mesma quantidade aos dois lados mantém a ordem entre os números. Se 2 < 5, então 2 + 3 < 5 + 3; do mesmo modo, subtrair uma quantidade igual também preserva a comparação.
Em x + 4 ≤ 10, subtraímos 4 de cada membro e chegamos a x ≤ 6. A operação é válida porque estamos realizando exatamente a mesma transformação em ambos os lados.
O que acontece ao multiplicar ou dividir por número positivo?
Multiplicar ou dividir os dois membros por um número positivo conserva o sentido da ordem. Por exemplo, de 3x > 12 concluímos x > 4 após divisão por 3.
Esse princípio pode ser visto na reta: esticar ou comprimir todas as distâncias por um fator positivo não inverte qual número está à direita do outro. O sinal original permanece.
Por que a desigualdade inverte ao dividir por número negativo?
A multiplicação por um número negativo espelha a ordem dos números na reta. Como 2 < 5, ao multiplicar por −1 obtemos −2 > −5. A direção da comparação necessariamente muda.
Por isso, em −2x > 6, a divisão por −2 transforma > em < e fornece x < −3. Esquecer essa inversão é um dos erros mais comuns em inequações do 1º grau.
Como resolver inequações com parênteses?
Aplique a propriedade distributiva antes de reunir os termos. Por exemplo, 4(x − 2) ≥ 8 equivale a 4x − 8 ≥ 8, então 4x ≥ 16.
Como o coeficiente de x é positivo, dividimos por 4 sem inverter o sinal e obtemos x ≥ 4. A conferência com o valor da fronteira mostra que x = 4 satisfaz a desigualdade inicial.
Como reunir a variável quando ela aparece nos dois membros?
Em 2x + 1 ≤ x + 6, subtraímos x de ambos os lados e depois 1 dos dois lados. O resultado é x ≤ 5, que descreve infinitos números reais.
Para testar, x = 0 faz 1 ≤ 6 ser verdadeiro, enquanto x = 6 faz 13 ≤ 12 ser falso. Testar pontos dentro e fora do intervalo ajuda a detectar sinais incorretos.
Como representar a solução na reta numérica?
Uma inequação como x > 3 é desenhada com círculo aberto em 3 e uma semirreta para a direita. Já x ≤ 3 tem círculo fechado em 3 e solução para a esquerda.
Na notação de intervalos, x > 3 corresponde a (3, +∞), enquanto x ≤ 3 corresponde a (−∞, 3]. Os parênteses indicam limite excluído e os colchetes, incluído.
Como usar inequações em situações do cotidiano?
Suponha que uma compra tenha taxa fixa de R$ 10 mais R$ 5 por item, e o orçamento seja de no máximo R$ 40. A condição é 10 + 5x ≤ 40, portanto x ≤ 6.
Se x representa uma quantidade inteira de produtos, também precisamos impor x ≥ 0 e x inteiro. Esse detalhe contextual mostra por que interpretar o problema é tão importante quanto manipular os símbolos.
Como conferir uma inequação e evitar erros?
Depois de obter o intervalo, escolha um valor que esteja dentro dele e outro que esteja fora. Substitua os dois na desigualdade original para verificar se o comportamento previsto acontece.
Além da inversão ao dividir por negativo, confira sinais diante de parênteses e a inclusão ou exclusão da fronteira. Uma solução algébrica correta deve ser compatível com a reta e com o contexto.
Passo a passo
- 01
Reduza os parênteses e simplifique ambos os membros usando a distributividade.
- 02
Reúna os termos com a variável em um lado e os números em outro, somando ou subtraindo igualmente.
- 03
Divida pelo coeficiente da variável; se for negativo, inverta o sinal da desigualdade.
- 04
Escreva a resposta como x < k, x ≤ k, x > k ou x ≥ k.
- 05
Confira a fronteira e teste valores para verificar o conjunto solução.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Inequação simples
2x + 3 > 11: retirando 3, temos 2x > 8; dividindo por 2 positivo, x > 4.
Com sinal de igualdade
3x − 5 ≤ 7: 3x ≤ 12, então x ≤ 4. O valor 4 faz a desigualdade inicial virar 7 ≤ 7, que é verdadeiro.
Invertendo por número negativo
−2x > 6: dividir por −2 exige trocar > por <. Resultado: x < −3.
Com parênteses
4(x − 2) ≥ 8: desenvolvendo 4x − 8 ≥ 8, encontramos x ≥ 4.
Com variável dos dois lados
2x + 1 ≤ x + 6: subtraindo x e depois 1, concluímos x ≤ 5.
Solução por intervalo
x > 3 representa todos os reais maiores que 3 e se escreve (3, +∞): círculo aberto em 3, com seta para a direita.
Problema de orçamento
Com R$ 10 fixos, R$ 5 por item e orçamento até R$ 40: 10 + 5x ≤ 40; logo x ≤ 6, considerando x inteiro e não negativo.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações do 1º Grau
Qual é a diferença entre equação e inequação?
Uma equação iguala duas expressões; uma inequação estabelece maior, menor, maior ou igual ou menor ou igual, normalmente produzindo um intervalo de soluções.
Quando inverter o sinal de desigualdade?
Ao multiplicar ou dividir os dois membros por um valor negativo. Somar, subtrair ou multiplicar por valor positivo não exige essa inversão.
Como desenhar x > 3 na reta?
Marque 3 com círculo aberto, porque ele não pertence à solução, e destaque os pontos para a direita, correspondentes aos números maiores que 3.
Qual diferença entre x > 3 e x ≥ 3?
A primeira não aceita o valor 3; a segunda o inclui. Na reta, isso é mostrado por um círculo aberto para > e fechado para ≥.
O que significa solução de inequação?
É qualquer valor real da variável que torna verdadeira a comparação inicial. O conjunto solução reúne todos esses valores, geralmente em um intervalo.
Como conferir se resolvi uma inequação corretamente?
Teste ao menos um número do intervalo encontrado e outro de fora, e confira se as substituições tornam a desigualdade original verdadeira ou falsa como esperado.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 2.7 Solve Linear Inequalities — Elementary Algebra 2e — OpenStax — Rice University
- Ch. 2 Key Concepts — Elementary Algebra 2e — OpenStax — Rice University