Logaritmos: definição, propriedades e exercícios resolvidos
Aprenda o que é logaritmo, como relacioná-lo à exponenciação e a utilizar suas propriedades com domínio correto, exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Interpretar logaritmo como expoente e reconhecer suas condições
- Usar propriedades de produto, quociente, potência e mudança de base
- Resolver equações simples verificando a positividade dos argumentos
Entenda o assunto
O logaritmo responde à pergunta: a qual expoente preciso elevar uma base b para obter um número x? Se 2³=8, então log₂(8)=3. É uma forma de desfazer a exponenciação, e não apenas uma nova regra de cálculo.
Nos números reais, a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1; o argumento deve ser estritamente positivo. Com essas condições, o logaritmo pode ser negativo, zero ou positivo — mas não existe logaritmo real de zero ou de número negativo.
O que significa calcular um logaritmo?
O logaritmo é o expoente necessário para obter o argumento a partir de uma base. Como 10²=100, temos log₁₀(100)=2. Como 2⁻³=1/8, temos log₂(1/8)=−3.
Essa correspondência é exata: log_b(x)=y se, e somente se, bʸ=x. Com base fixa admissível, a função logarítmica é a inversa de bˣ.
Por que o argumento deve ser positivo?
Uma potência real de base positiva b nunca produz valor zero ou negativo. Portanto, se queremos bʸ=x, o número x precisa ser estritamente positivo. Isso explica a condição de domínio dos logaritmos reais.
Além disso, a base deve satisfazer b>0 e b≠1: a base 1 não permitiria determinar um expoente único, pois 1ʸ=1 para todo y. Log₁₀(−5) e log₂(0) não são números reais.
Por que log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1?
Como b⁰=1, o expoente que produz 1 é zero. Como b¹=b, o expoente que produz a própria base é um. Esses dois valores são consequências diretas da definição, não propriedades independentes.
Por exemplo, log₃(1)=0 e log₃(3)=1. Já log₃(27)=3, porque 3³=27. Sempre que possível, reescreva o argumento como potência da base para calcular sem aproximações.
Demonstração: logaritmo de um produto
Se x=bᵐ e y=bⁿ, o produto é xy=bᵐ⁺ⁿ. Aplicando a definição, log_b(xy)=m+n; como m=log_b(x) e n=log_b(y), obtemos a propriedade do produto.
Ela só pode ser usada diretamente, nos reais, com x>0 e y>0. Por exemplo, log₂(8·4)=log₂(8)+log₂(4)=3+2=5. Não existe regra semelhante para soma de argumentos.
Demonstração: logaritmo de um quociente
Com x=bᵐ e y=bⁿ, temos x/y=bᵐ⁻ⁿ. Por isso o logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos, desde que ambos os argumentos sejam positivos.
Em log₁₀(1000/10), obtemos log₁₀(1000)−log₁₀(10)=3−1=2. A divisão por zero e logaritmos de argumentos não positivos continuam proibidos.
Demonstração: logaritmo de uma potência
Se x=bᵐ, então xᵏ=bᵐᵏ. Isso explica por que o expoente pode passar a multiplicar o logaritmo: log_b(xᵏ)=k·log_b(x), para x>0 e k real.
Por exemplo, log₂(8²)=2·log₂(8)=2·3=6. Atenção: para potências pares, o argumento original pode ser negativo, mas a fórmula com log_b(x) exige x positivo.
Como funciona a mudança de base?
Se y=log_b(x), então bʸ=x. Tomando logaritmos na mesma base auxiliar c>0, c≠1, nos dois membros, temos y·log_c(b)=log_c(x). Isolando y, obtemos a regra de mudança de base.
Em particular, log₂(8)=log₁₀(8)/log₁₀(2)=3. A fórmula permite usar calculadoras com logaritmos decimais ou naturais mesmo quando a base original é outra.
Qual é o gráfico de uma função logarítmica?
A função f(x)=log_b(x) tem domínio (0,+∞) e imagem ℝ. Seu gráfico passa por (1,0) e (b,1) e se aproxima da reta x=0, assíntota vertical, sem cruzá-la.
Se b>1, o logaritmo é crescente; se 0<b<1, é decrescente. Os gráficos de bˣ e log_b(x) são reflexos em relação à reta y=x, por serem funções inversas.
Como resolver equações logarítmicas com segurança?
Em log₂(x−1)=3, a primeira condição é x−1>0, isto é, x>1. Passando à forma exponencial, x−1=2³=8, logo x=9, que satisfaz o domínio.
Se uma transformação algébrica produzir solução com argumento zero ou negativo, descarte-a. É possível que uma equação logarítmica não tenha solução real, mesmo que uma conta intermediária pareça válida.
Onde logaritmos aparecem e quais confusões evitar?
Logaritmos são usados em escalas que comprimem grandes variações, em modelos de crescimento e no cálculo do expoente necessário para atingir uma meta. Em ciência, fórmulas específicas exigem interpretar corretamente o argumento e a unidade.
Não escreva log_b(x+y)=log_b(x)+log_b(y): a propriedade correta envolve produto, não soma. Também não esqueça que logaritmo negativo pode existir, desde que seu argumento seja positivo, como log₁₀(0,1)=−1.
Passo a passo
- 01
Verifique primeiro as condições: base positiva e diferente de 1, argumento maior que zero.
- 02
Traduza log_b(x)=y para a forma exponencial bʸ=x, ou faça o caminho inverso.
- 03
Em expressões, use propriedades de produto, quociente ou potência somente onde os argumentos estejam definidos.
- 04
Depois de resolver, confira a resposta na equação original para eliminar possíveis soluções proibidas pelo domínio.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Conversão entre potências e logaritmos
Como 2⁵=32, temos log₂(32)=5. De modo inverso, log₃(81)=4 significa que 3⁴=81.
Logaritmo negativo
log₂(1/8)=−3 porque 2⁻³=1/8. O resultado pode ser negativo, mas o argumento 1/8 é positivo.
Logaritmo de produto
log₂(8·4)=log₂(8)+log₂(4)=3+2=5; de fato 8·4=32 e 2⁵=32.
Logaritmo de quociente
log₁₀(1000/10)=log₁₀(1000)−log₁₀(10)=3−1=2, o mesmo que log₁₀(100).
Logaritmo de potência
log₃(9³)=3·log₃(9)=3·2=6. O argumento é 729, que também é igual a 3⁶.
Resolver equação com domínio
log₂(x−1)=3 exige x>1. Então x−1=8 e x=9, que é válido porque 9−1 é positivo.
Mudança de base
log₄(16)=log₂(16)/log₂(4)=4/2=2. A igualdade confere: 4²=16.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Logaritmos
O que é um logaritmo em linguagem simples?
É o expoente necessário para transformar uma base positiva admissível em determinado número positivo; por exemplo, log₂(8)=3.
Um logaritmo pode ser negativo?
Sim. O resultado pode ser negativo, como log₂(1/2)=−1. O que precisa ser positivo é o argumento, não o resultado.
Por que não existe logaritmo real de zero?
Nenhuma potência de base positiva produz zero. Assim log_b(0) não pode representar um expoente real para bases admissíveis.
Qual a diferença entre logaritmo decimal e natural?
O logaritmo decimal usa base 10, enquanto o natural usa a base e, número irracional positivo maior que 1. Ambos seguem as propriedades gerais.
Posso separar o logaritmo de uma soma?
Não. A igualdade log_b(xy)=log_b(x)+log_b(y) vale para produto de argumentos positivos, não para x+y.
Como resolver uma equação com logaritmos?
Primeiro confira a positividade de cada argumento, aplique a equivalência exponencial ou propriedades válidas e verifique as soluções na equação original.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.3 Logarithmic Functions — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e
- 6.5 Logarithmic Properties — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e