Progressão Geométrica (PG): fórmulas, teoria e exercícios
Aprenda o que é progressão geométrica, como encontrar a razão, calcular o termo geral e deduzir as somas finita e infinita com condições corretas.
O que você vai aprender
- Reconhecer uma PG pela multiplicação por uma mesma razão
- Calcular termos e somas finitas, incluindo o caso q = 1
- Compreender quando uma PG infinita converge e aplicar modelos multiplicativos
Entenda o assunto
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante q. Em 2, 6, 18, 54, ... cada termo é o triplo do anterior, portanto q = 3.
Em uma PG, os valores não crescem por acréscimos fixos: mudam por fatores multiplicativos. Essa propriedade explica por que as fórmulas usam potências, enquanto nas progressões aritméticas aparecem multiplicações pelo número de intervalos.
Como reconhecer a razão constante de uma PG?
Em 5, 10, 20, 40, ... cada termo é o anterior vezes 2. Já na sequência 5, 10, 15, 20, ... as diferenças são constantes, mas os quocientes variam; ela é uma PA, não uma PG de razão 2.
Em progressões com termos não nulos, encontramos a razão dividindo um termo pelo anterior: q = a₂/a₁. De modo mais geral, a definição é aₙ₊₁ = q·aₙ, o que também permite sequências que contêm zero, nas quais a divisão pode ser indefinida.
De onde vem o expoente n − 1?
Partindo de a₁, obtemos a₂ = a₁q, a₃ = a₁q² e a₄ = a₁q³. Por indução desse padrão, a posição n exige n − 1 multiplicações pela mesma razão.
Assim, se a₁ = 3 e q = 2, o sexto termo é a₆ = 3·2⁵ = 96. Se confundirmos a posição com o número de multiplicações e usarmos q⁶, teremos um fator adicional indevido.
Demonstração da soma de uma PG finita
Comece com Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ⁻¹. Multiplique toda a igualdade por q: qSₙ = a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ. Ao subtrair a primeira da segunda expressão, as parcelas intermediárias se cancelam.
O resultado é (q − 1)Sₙ = a₁(qⁿ − 1). Dividir por q − 1 produz a fórmula da soma finita, válida apenas quando q ≠ 1. A convenção equivalente com 1 − q altera os sinais de cima e de baixo ao mesmo tempo.
O que acontece quando q vale 1, 0 ou é negativa?
Se q = 1, todos os termos são iguais ao primeiro e a soma de n termos é n·a₁; não podemos usar diretamente a expressão que divide por q − 1. Se q = 0, depois do primeiro termo os demais são zero.
Se q é negativa, os sinais dos termos não nulos se alternam. Por exemplo, 4, −8, 16, −32, ... tem q = −2. É indispensável usar parênteses ao elevar razões negativas a potências.
Quando existe uma soma infinita de PG?
Uma série geométrica infinita representa a soma sem fim a₁ + a₁q + a₁q² + ... . Ela só converge para um número finito, no caso usual a₁ ≠ 0, quando o valor absoluto da razão é menor que 1.
Se |q| < 1, então qⁿ se aproxima de zero. Tomando o limite da soma finita, obtemos S∞ = a₁/(1 − q). Para 8 + 4 + 2 + 1 + ..., a razão é 1/2 e a soma infinita é 16; infinitas parcelas não obrigam soma infinita.
PG e crescimento ou decaimento percentual
Aumentos de 10% sobre o valor atualizado correspondem a multiplicar por 1,10 a cada período. Reduções de 20% correspondem a multiplicar por 0,80, e não a subtrair uma quantia fixa. Isso forma uma PG sob a hipótese de taxa constante.
Por exemplo, uma quantia inicial de 100 unidades que cresce 10% por período assume 100, 110, 121, ... . O terceiro valor é 100·1,1² = 121. Em situações financeiras reais, impostos, depósitos e taxas variáveis podem exigir modelos adicionais.
Como relacionar termos não consecutivos?
Dividindo as expressões do termo geral, obtemos aₘ/aₙ = qᵐ⁻ⁿ quando aₙ não é zero. Essa relação permite encontrar uma potência da razão diretamente, sem listar todos os valores intermediários.
Se a₂ = 6 e a₅ = 162, então a₅/a₂ = q³ = 27. A razão real é q = 3, e a₁ = 6/3 = 2. Cuidado: se o expoente for par, uma equação do tipo q² = 9 admite as razões 3 e −3.
Qual é a ligação entre PG e função exponencial?
A expressão aₙ = a₁qⁿ⁻¹ associa cada índice inteiro positivo a um valor. Quando a razão é positiva, podemos relacioná-la a uma função exponencial contínua com variável real, usando uma escolha adequada de domínio.
O gráfico da PG mostra pontos isolados, porque suas posições são inteiras. Já a função exponencial costuma ser definida em um domínio real. Para razões negativas, potências com expoentes reais não estão definidas como reais para todos os valores, exigindo cuidado na comparação.
Cuidados com a soma e com a razão da PG
Uma confusão frequente é aplicar a fórmula de PA porque os termos aumentam. Na PG 3, 6, 12, 24, as diferenças 3, 6 e 12 não são constantes; os quocientes é que valem 2.
Outro erro é supor que uma PG com razão q = 2 tem soma infinita 2a₁. A expressão de série infinita só vale com |q| < 1. Nas fórmulas finitas, não se esqueça do caso q = 1 e dos expoentes da razão negativa.
Roteiro rápido para resolver exercícios
Leia se o problema pede termo, soma finita ou soma infinita. Identifique o primeiro termo e a razão, observando se o crescimento é por diferença ou fator, e anote a posição inicial adotada.
Depois confira a condição de uso de cada fórmula: q ≠ 1 para a soma finita na forma fracionária e |q| < 1 para a soma infinita. Verifique o resultado calculando dois ou três termos manualmente.
Passo a passo
- 01
Confirme se cada termo é o anterior multiplicado pela mesma razão q. Quando o termo anterior não é zero, calcule q = a₂/a₁.
- 02
Para encontrar a posição n, conte n − 1 multiplicações pela razão e escreva aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
- 03
Para somar n termos, use Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) se q ≠ 1; com q = 1, a soma é n·a₁.
- 04
Em uma série infinita, verifique primeiro se |q| < 1, única situação usual em que a soma infinita finita existe.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Calcular uma razão positiva
A PG 4, 12, 36, ... tem razão q = 12/4 = 3. A terceira verificação é 36/12 = 3, confirmando o fator constante.
Quinto termo de PG
Com a₁ = 2 e q = 3, a₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162. São quatro multiplicações para chegar à posição 5.
PG alternante
Para a₁ = 5 e q = −2, os quatro primeiros termos são 5, −10, 20, −40. A alternância decorre do sinal negativo de q.
Soma finita com razão maior que 1
Na PG 3, 6, 12, 24, os quatro primeiros termos somam 45. Pela fórmula, S₄ = 3(2⁴ − 1)/(2 − 1) = 3·15 = 45.
Soma finita com razão igual a 1
Na PG 7, 7, 7, 7, 7, a razão é 1, e a soma das cinco parcelas é 5·7 = 35, sem divisão por q − 1.
Série infinita convergente
A soma infinita 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... tem razão 1/2; como |q| < 1, S∞ = 12/(1 − 1/2) = 24.
Crescimento percentual constante
Um valor hipotético de 200 cresce 5% em dois períodos. A sequência começa em 200, depois 210 e depois 220,50, pois 200·1,05² = 220,50.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Progressão Geométrica (PG)
O que é a razão de uma PG?
A razão é o fator constante que multiplica um termo para produzir o seguinte. Se os termos consecutivos forem não nulos, ela pode ser calculada por q = a₂/a₁.
Toda progressão geométrica é crescente?
Não. Dependendo da razão e do primeiro termo, uma PG pode crescer, decrescer, alternar sinais ou permanecer constante. O comportamento precisa ser analisado, não presumido.
Qual a principal diferença entre PA e PG?
Na PA há diferença constante entre termos consecutivos; na PG há fator multiplicativo constante. Por isso, os termos gerais usam fórmulas diferentes.
Posso usar a fórmula da soma da PG quando q = 1?
Não a forma com divisão por q − 1, pois o denominador seria zero. Nesse caso todos os termos são iguais e a soma é Sₙ = n·a₁.
Quando a soma infinita de uma PG existe?
Para uma PG com primeiro termo não nulo, a série geométrica infinita converge exatamente quando |q| < 1; então a soma é S∞ = a₁/(1 − q).
Crescimento percentual constante é progressão geométrica?
Sim, em um modelo de períodos uniformes e taxa percentual fixa sobre o valor atualizado, cada etapa multiplica por um mesmo fator 1 + taxa. Mudanças de taxa quebram essa hipótese.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 12.3 Geometric Sequences and Series — OpenStax — Intermediate Algebra 2e
- Chapter 12 — Key Concepts — OpenStax — Intermediate Algebra 2e