Progressão Aritmética (PA): fórmulas, teoria e exercícios
Entenda o que é progressão aritmética, como encontrar a razão, calcular o termo geral e deduzir a soma dos n primeiros termos com exemplos resolvidos.
O que você vai aprender
- Reconhecer progressões aritméticas pela diferença constante
- Deduzir e aplicar a fórmula do termo geral de uma PA
- Calcular a soma finita por emparelhamento e resolver situações reais
Entenda o assunto
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre cada termo e o anterior permanece constante. Em 3, 7, 11, 15, ... cada passo acrescenta 4 unidades; dizemos que a razão da PA é r = 4.
As fórmulas não surgem por memorização: após n termos, a diferença foi somada exatamente n − 1 vezes. Para somar uma PA finita, podemos emparelhar termos extremos, que sempre apresentam a mesma soma.
O que caracteriza uma progressão aritmética?
Uma PA não é definida apenas por seus números aumentarem. Sua propriedade é a diferença constante entre termos consecutivos. A sequência 12, 9, 6, 3, ... é uma PA decrescente, porque a diferença é sempre −3.
A razão r pode ser positiva, negativa ou zero: quando r > 0, a PA cresce; quando r < 0, decresce; e com r = 0 todos os termos são iguais. A verificação deve usar ao menos duas diferenças, e idealmente todos os intervalos apresentados.
Por que o termo geral tem n − 1 multiplicando a razão?
Partindo do primeiro termo, a₂ = a₁ + r, a₃ = a₁ + 2r e a₄ = a₁ + 3r. Para alcançar o termo de posição n, percorremos n − 1 intervalos, nunca n intervalos.
Esse padrão explica a fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)r. Por exemplo, em 5, 8, 11, ... o décimo termo é a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Uma forma de conferir é observar que o segundo termo corresponde a n = 2.
Como descobrir a razão quando os termos estão distantes?
Quando a posição de dois termos é conhecida, subtraímos as duas expressões do termo geral. Assim, aₘ − aₙ = (m − n)r. O primeiro termo desaparece porque está nas duas equações.
Se a₄ = 14 e a₉ = 34, houve cinco saltos com aumento total de 20; portanto, r = 20/5 = 4. Depois, a₁ = a₄ − 3r = 14 − 12 = 2. Isso evita tentar adivinhar termos intermediários.
Demonstração da soma por emparelhamento
Considere uma PA de n termos. Escreva Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ e repita a soma na ordem inversa: Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁. Ao somar as duas linhas, cada coluna vale a₁ + aₙ.
Como há n colunas, obtemos 2Sₙ = n(a₁ + aₙ). Dividindo por 2, chegamos à fórmula. Para 2, 5, 8, 11, são 4 termos, o primeiro vale 2 e o último 11: S₄ = 4(2+11)/2 = 26.
Como somar uma PA sem conhecer o último termo?
Substituindo aₙ = a₁ + (n − 1)r na fórmula da soma, encontramos outra expressão: Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)r]/2. Ela utiliza somente o primeiro termo, a razão e o número de parcelas.
Na PA 4, 6, 8, ... a soma dos primeiros dez termos é S₁₀ = 10[2·4 + 9·2]/2 = 5·26 = 130. Essa forma é útil quando o enunciado não fornece a posição final explicitamente.
Média aritmética e termos equidistantes
Em uma PA, qualquer termo interno é a média aritmética de seus dois vizinhos: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Isso acontece porque um vizinho está r abaixo e o outro r acima do valor central.
Para inserir três meios aritméticos entre 4 e 20, precisamos formar cinco termos e quatro intervalos iguais. A razão é (20 − 4)/4 = 4, produzindo 4, 8, 12, 16, 20. Há três termos inseridos, não quatro.
Relação entre PA e função afim
Os pares (n, aₙ) de uma PA pertencem aos pontos de uma reta, porque aₙ = rn + (a₁ − r). A taxa de variação do gráfico é a razão r, que determina o acréscimo ou decréscimo entre posições consecutivas.
A diferença para uma função afim definida em todos os números reais é que uma sequência usa posições inteiras positivas. Por isso, seu gráfico é formado por pontos discretos, e não por uma linha contínua obrigatória.
Onde a progressão aritmética aparece?
Uma arquibancada pode ter 12 lugares na primeira fila e 3 lugares adicionais em cada fila seguinte. A fila 8 tem 12 + 7·3 = 33 lugares; o total das oito primeiras filas é 8(12 + 33)/2 = 180.
Modelos de PA representam acréscimos absolutos constantes, como aumentar uma meta em cinco unidades por semana. Não se deve usar PA quando o crescimento é percentual constante, porque nesse caso os acréscimos absolutos mudam a cada etapa.
Cuidados com os sinais e com o índice dos termos
Um erro frequente é escrever aₙ = a₁ + nr e contar um salto a mais. Outro é trocar razão negativa por positiva: na sequência 20, 15, 10, ... a razão correta é −5, e não 5.
Também é preciso separar aₙ, o valor do termo na posição n, de Sₙ, a soma dos n primeiros termos. A décima parcela de uma PA não equivale à soma das dez primeiras. Use unidades apropriadas em contextos de dinheiro, distâncias ou quantidades.
Como escolher a fórmula adequada?
Se o enunciado pedir uma posição específica, use o termo geral. Se pedir o total acumulado dos primeiros n termos, utilize a fórmula da soma. Quando dois termos não consecutivos forem conhecidos, descubra primeiro a razão.
Uma checagem rápida é calcular os primeiros três termos pela fórmula encontrada e confirmar que a diferença é constante. Nas somas, compare com uma adição direta de poucos termos antes de confiar na resposta algébrica.
Passo a passo
- 01
Identifique o primeiro termo a₁ e calcule a razão r = a₂ − a₁, conferindo em outras posições.
- 02
Para encontrar um termo, conte quantos saltos ocorrem do primeiro até a posição desejada: n − 1.
- 03
Substitua na expressão aₙ = a₁ + (n − 1)r, respeitando sinais e parênteses.
- 04
Se a pergunta pedir a soma dos n primeiros termos, encontre aₙ e use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Décimo segundo termo
Na PA 7, 11, 15, ... temos a₁ = 7 e r = 4. Logo a₁₂ = 7 + (12 − 1)·4 = 7 + 44 = 51.
Razão negativa
A sequência 30, 24, 18, ... tem r = −6. O sexto termo é a₆ = 30 + 5·(−6) = 0; portanto pode chegar a zero e depois tornar-se negativa.
Termos conhecidos em posições distantes
Se a₃ = 10 e a₇ = 26, então 4r = 16 e r = 4. Como a₃ = a₁ + 2·4, segue a₁ = 2.
Soma dos dez primeiros termos
Na PA 3, 6, 9, ... a₁₀ = 3 + 9·3 = 30. Portanto S₁₀ = 10(3 + 30)/2 = 165.
Inserção de meios aritméticos
Entre 5 e 25, inserir três termos cria cinco posições. r = (25 − 5)/4 = 5; os meios são 10, 15 e 20.
Lugares de uma plateia
Uma plateia tem 15 lugares na primeira fileira e ganha 2 lugares em cada próxima. A sexta fileira tem 25 lugares. O total das seis primeiras é 6(15+25)/2 = 120 lugares.
Outra forma de calcular a soma
Com a₁ = 2, r = 3 e n = 8, a soma é 8[2·2 + 7·3]/2 = 4(25) = 100; a conferência direta é 2+5+8+11+14+17+20+23 = 100.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Progressão Aritmética (PA)
O que é razão na progressão aritmética?
Razão é a diferença constante entre termos consecutivos. Basta subtrair o primeiro de seu sucessor: r = a₂ − a₁, verificando se essa diferença se mantém.
Uma PA pode ser decrescente ou constante?
Sim. Se a razão for negativa, cada termo diminui; se a razão for zero, todos os termos são iguais. Razão positiva caracteriza uma PA crescente.
Qual é a diferença entre aₙ e Sₙ?
aₙ indica apenas o termo que ocupa a posição n; Sₙ representa a soma dos n primeiros termos da sequência. As duas expressões respondem a perguntas diferentes.
Por que o termo geral tem n − 1?
Porque o primeiro termo já foi dado: do primeiro até o enésimo termo há exatamente n − 1 intervalos. Por exemplo, do primeiro ao quarto são três saltos.
Como calcular a soma se não sei o último termo?
Use o termo geral para encontrar aₙ e depois Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Também pode aplicar diretamente Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)r]/2.
Uma PA é a mesma coisa que uma função afim?
Os termos de uma PA podem ser escritos por uma expressão afim do índice, mas os índices da sequência são inteiros positivos. Uma função afim usual pode admitir valores reais de entrada.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 12.2 Arithmetic Sequences — OpenStax — Intermediate Algebra 2e
- 13.2 Arithmetic Sequences — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e