Princípio Fundamental da Contagem: regra multiplicativa
Entenda o Princípio Fundamental da Contagem, diagramas de árvore, etapas dependentes e restrições, com exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Contar possibilidades em etapas sucessivas
- Usar árvores de possibilidades e produtos corretamente
- Distinguir casos de soma, produto e restrições
Entenda o assunto
O Princípio Fundamental da Contagem, também chamado de princípio multiplicativo, permite contar escolhas realizadas em etapas. Se podemos combinar três camisetas com duas calças, há seis combinações de roupa sem precisar listar cada par.
O princípio não exige que as etapas tenham sempre o mesmo número de escolhas: basta multiplicar as opções disponíveis em cada continuação. Se as opções variam conforme decisões anteriores, podemos dividir o problema em casos ou usar uma árvore.
Por que multiplicamos as opções de cada etapa?
Uma escolha de camiseta e calça não é apenas “uma entre três” nem “uma entre duas”: é um par formado por uma peça de cada tipo. Com três camisetas e duas calças, podemos organizar três linhas com duas opções em cada, totalizando seis pares.
Esse raciocínio é o produto cartesiano entre conjuntos de escolhas. Cada opção da primeira etapa combina com todas as opções da segunda, desde que não existam restrições adicionais. O princípio também funciona com três ou mais etapas sucessivas.
O diagrama de árvore torna a contagem visível
Uma árvore começa em um ponto de partida e se ramifica a cada escolha. Se há duas bebidas e três lanches, cada ramo de bebida se divide em três opções; os seis caminhos finais representam as seis combinações possíveis.
O recurso é especialmente útil em problemas pequenos e quando as escolhas seguintes dependem das anteriores. A árvore ajuda a conferir se todos os resultados foram incluídos uma vez e a entender por que uma multiplicação representa combinações reais.
Tabelas organizam pares de opções
Quando existem apenas duas etapas, uma tabela pode ser ainda mais simples do que a árvore. Coloque as três camisetas nas linhas e as duas calças nas colunas; cada interseção representa exatamente um par de roupas possível.
A tabela tem três linhas e duas colunas, totalizando seis células. Uma tabela é apropriada para pares de escolhas; com muitas etapas, a árvore ou o cálculo direto costumam ser mais eficientes.
Estendendo o produto para muitas escolhas
Para formar uma refeição com entrada, prato e sobremesa, escolhemos uma possibilidade em cada uma das três fases. Se há 2 entradas, 3 pratos e 4 sobremesas, o total é 2×3×4 = 24 refeições completas.
A interpretação vem antes da conta. Não some 2+3+4 = 9: esse resultado contaria itens oferecidos, mas não as refeições feitas de uma opção de cada categoria. Multiplicar é adequado quando precisamos combinar as etapas.
Quando a repetição é permitida
Em uma senha de quatro dígitos, cada posição pode assumir qualquer algarismo de 0 a 9, caso o sistema permita repetição. Como as escolhas não retiram possibilidades das etapas seguintes, são 10 opções para cada uma das quatro posições.
O total é 10×10×10×10 = 10.000 senhas, incluindo a sequência 0000. O exemplo evidencia a diferença entre uma senha e um número natural de quatro algarismos, cujo primeiro dígito precisaria ser diferente de zero.
Quando cada escolha elimina uma opção
Se um mesmo símbolo não pode ser repetido, o número de escolhas diminui a cada etapa. Com as letras A, B, C e D para formar uma sequência de duas letras distintas, há 4 opções iniciais e somente 3 para completar.
Portanto são 4×3 = 12 sequências. Esse raciocínio pode ser estendido a ordenar p elementos distintos dentre n e dá origem à fórmula de arranjos simples, estudada com mais detalhe na análise combinatória.
Por que zero inicial muda a resposta?
Um número de três algarismos precisa começar por 1, 2, ..., 9; caso contrário, não teria três algarismos na representação decimal usual. Se os dígitos podem repetir, há 9 opções na primeira posição e 10 em cada uma das outras duas.
Assim, são 9×10×10 = 900 números de três algarismos. Em um código de três posições, com zero inicial permitido, haveria 10³ = 1.000 sequências. A diferença não é matemática difícil, mas leitura atenta das regras.
Quando é preciso somar em vez de multiplicar?
Escolher uma entrada e uma sobremesa exige duas escolhas simultâneas, por isso usamos o produto. Já escolher uma bebida OU uma sobremesa, quando essas categorias não se confundem e apenas um item será selecionado, pede somar suas quantidades.
Se há três sucos e dois chás como alternativas exclusivas, há 3+2 = 5 bebidas possíveis. Em uma árvore com quantidades desiguais por ramo, calcule o número de caminhos em cada ramo e some os resultados sem sobreposição.
E se o número de opções muda em cada ramo?
Imagine que o lanche A permita duas bebidas e o lanche B permita quatro. Não existe um único número de bebidas que seja válido após qualquer primeira escolha. Nesse caso, a regra uniforme de 2×n não se aplica diretamente.
Divida a contagem: o ramo A tem duas combinações e o ramo B tem quatro, logo 2+4 = 6. De forma geral, o princípio multiplicativo atua dentro de cada ramo; o princípio aditivo reúne os ramos distintos.
Da contagem ao espaço amostral
Em dois lançamentos de moeda, há dois resultados por lançamento e quatro pares ordenados possíveis. Se as moedas são equilibradas e os lançamentos independentes, os quatro pares têm a mesma probabilidade, permitindo calcular eventos por contagem.
O princípio da contagem determina quantos resultados existem, não garante por si só que eles tenham a mesma chance. Em problemas de probabilidade, é necessário explicitar as hipóteses antes de dividir o número de casos favoráveis pelo total.
Passo a passo
- 01
Separe o problema em decisões sucessivas e determine o que representa um resultado completo.
- 02
Conte as opções da primeira etapa e, para cada escolha, verifique as opções que restam na etapa seguinte.
- 03
Multiplique quantidades quando todas as primeiras escolhas admitem a mesma quantidade de continuações; se variam, conte cada ramo e depois some.
- 04
Confirme o total com uma tabela ou árvore pequena e releia condições como “não repetir” ou “não começar com zero”.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Combinações de roupas
Uma pessoa possui 3 camisetas e 2 calças, e escolhe exatamente uma de cada. Para cada camiseta há 2 calças possíveis, então 3×2 = 6 visuais diferentes.
Cardápio com três etapas
Um restaurante oferece 2 entradas, 3 pratos principais e 2 sobremesas. Se uma refeição combina uma opção de cada etapa, há 2×3×2 = 12 refeições diferentes.
Código de duas letras
Cada uma das duas posições de um código pode receber A, B ou C, com repetição permitida. Assim, são 3 opções em cada etapa e 3×3 = 9 códigos distintos.
Código de três algarismos sem repetir
Um código de três posições pode usar 0 a 9, inclusive zero no início, mas não pode repetir algarismos. São 10 escolhas na primeira, 9 na segunda e 8 na terceira: 10×9×8 = 720 códigos.
Números com três algarismos
Para formar números de 100 a 999, com repetição permitida, o primeiro algarismo admite 1 a 9 (nove opções), enquanto os demais admitem 0 a 9 (dez cada). Logo 9×10×10 = 900 números.
Árvore de duas moedas
Duas moedas equilibradas têm dois resultados possíveis em cada lançamento: cara ou coroa. A árvore tem dois ramos iniciais, cada um com mais dois ramos, totalizando 2×2 = 4 resultados ordenados.
Casos com quantidades diferentes
De uma cidade A há 2 rotas para B e 3 rotas para C; de B há 2 rotas para D, de C há 4. As rotas completas via B são 2×2 = 4 e via C são 3×4 = 12. Como os casos não se sobrepõem, o total é 4+12 = 16.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Princípio Fundamental da Contagem
O que é o Princípio Fundamental da Contagem?
É a regra que conta escolhas feitas em etapas: quando há n₁ opções na primeira etapa e n₂ opções para completar cada escolha, o total é n₁×n₂. A regra se estende a mais etapas.
Quando uso multiplicação em uma contagem?
Quando o resultado final combina escolhas sucessivas, como uma camiseta E uma calça. É importante conferir se cada primeira escolha admite o mesmo número de continuações.
Quando devo somar possibilidades?
Quando há casos alternativos que não se sobrepõem, como escolher um suco OU um chá. Em árvores com ramos desiguais, conte cada ramo e some seus resultados.
O princípio funciona sem reposição?
Sim. O número de opções pode diminuir a cada etapa; para escolher duas letras diferentes entre quatro, multiplicamos 4×3, pois a primeira letra já não está disponível.
Por que um código pode começar com zero?
Porque a sequência 007 pode ser um código válido se o enunciado permitir. Já um número natural de três algarismos não começa com zero em sua representação usual.
Diagramas de árvore são obrigatórios?
Não. Eles ajudam a visualizar e verificar casos pequenos. Para muitas etapas, um produto adequado costuma ser mais eficiente, desde que todas as restrições estejam representadas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.1 The Multiplication Rule for Counting — OpenStax — Contemporary Mathematics
- 7.4 Tree Diagrams, Tables, and Outcomes — OpenStax — Contemporary Mathematics