Probabilidade Condicional: fórmula e exemplos resolvidos
Entenda P(A|B), espaço amostral condicionado, eventos dependentes e independentes, tabelas, urnas e árvores, com exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Interpretar o significado de P(A|B)
- Calcular probabilidades condicionais por tabelas e eventos
- Distinguir independência de incompatibilidade e usar a regra do produto
Entenda o assunto
A probabilidade condicional mede a chance de um evento A ocorrer quando sabemos que outro evento B aconteceu. A informação de B restringe o universo de resultados considerados, por isso é preciso mudar o denominador da contagem.
Por exemplo, entre dez cartões, quatro são azuis e seis vermelhos. Se sabemos que o cartão sorteado é azul, a chance de ele ser um cartão azul específico passa a ser 1/4 — não mais 1/10 — desde que os cartões sejam equiprováveis.
O que significa a expressão “dado que”?
Em probabilidade, condicionar significa utilizar uma informação já conhecida para restringir o universo dos resultados. Se sabemos que um dado mostrou número par, os valores ímpares deixam de ser relevantes para a pergunta condicionada.
Por isso, a chance de sair 6 deixa de ser 1/6 e passa a ser 1/3 quando a condição é “o resultado foi par”. Não houve mudança física no dado; a informação mudou quais resultados estamos considerando.
Como a condição redefine o denominador
Considere resultados equiprováveis e um evento B que contém quatro resultados. Depois de saber que B ocorreu, o novo espaço considerado tem quatro possibilidades, mesmo que o experimento original tivesse dez resultados possíveis.
Se dois desses quatro resultados também satisfazem A, a probabilidade de A dado B é 2/4. Esse raciocínio por contagem só é direto quando os resultados elementares dentro da condição têm a mesma chance.
A fórmula de probabilidade condicional
A expressão P(A|B) é lida “probabilidade de A dado B”. Seu numerador P(A ∩ B) representa a chance de A e B ocorrerem ao mesmo tempo; seu denominador P(B) representa a chance de a condição ocorrer.
A fórmula P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) exige P(B) > 0. Sem essa condição, a divisão não estaria definida no modelo elementar usual. Multiplicar a igualdade por P(B) resulta na regra do produto.
Tabelas: conte dentro da linha ou coluna da condição
Suponha uma pesquisa com 20 estudantes: 12 praticam esporte e, entre esses doze, cinco tocam instrumento. Se o sorteio é uniforme e sabemos que o escolhido pratica esporte, o denominador relevante é 12, não 20.
A interseção “esporte e instrumento” tem cinco estudantes, portanto a chance pedida é 5/12. Para encontrar P(esporte | instrumento), porém, seria necessário saber quantos alunos tocam instrumento no total; não basta inverter a fração.
Probabilidade de dois eventos acontecerem juntos
Reorganizando a fórmula condicional, obtemos P(A ∩ B) = P(A)×P(B|A), quando P(A)>0. Essa regra multiplica a chance de chegar ao primeiro ramo pela chance de continuar até o segundo, já considerando o que ocorreu.
Em uma urna com três bolas azuis e duas vermelhas, duas retiradas azuis sem reposição têm chance (3/5)×(2/4) = 3/10. O segundo fator mudou porque a primeira bola não foi devolvida.
Eventos independentes não mudam a chance um do outro
Dois eventos A e B são independentes quando conhecer a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, por exemplo P(A|B) = P(A) quando P(B)>0. Nesse caso, a regra do produto se simplifica para P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Lançar uma moeda honesta duas vezes, de modo independente, mantém a probabilidade de cara no segundo lançamento em 1/2 mesmo após observar o primeiro. Sorteios sem reposição, em contraste, em geral alteram as chances seguintes.
Exclusão mútua é diferente de independência
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer no mesmo experimento: A ∩ B é vazio, e sua probabilidade conjunta é zero. Em um único lançamento de dado, “sair 2” e “sair 5” são incompatíveis.
Se ambos têm probabilidade positiva, saber que B ocorreu obriga P(A|B) = 0, diferente da probabilidade original de A. Portanto, eventos mutuamente exclusivos com chances positivas não são independentes.
Por que P(A|B) e P(B|A) podem ser diferentes?
As duas frações utilizam denominadores diferentes. P(A|B) divide P(A ∩ B) por P(B), enquanto P(B|A) divide a mesma interseção por P(A). Trocar a condição altera o grupo usado como referência.
Por exemplo, numa turma com 20 alunos, 12 praticam esporte e cinco desses também tocam instrumento. Sabemos P(instrumento|esporte) = 5/12, mas não podemos determinar P(esporte|instrumento) sem saber quantos tocam instrumento ao todo.
Árvores com probabilidades em cada ramo
Em uma árvore de sorteios sucessivos, cada aresta representa a probabilidade de uma escolha dada a trajetória anterior. A probabilidade de um caminho completo é o produto das probabilidades de seus ramos, segundo a regra da multiplicação.
Se a primeira retirada é azul com chance 3/5 e, nesse caso, a segunda também azul tem chance 2/4, o caminho azul-azul vale 3/5×2/4 = 3/10. Para um evento com vários caminhos distintos, some as probabilidades dos caminhos disjuntos.
Aplicações e limites da interpretação
Probabilidades condicionais aparecem na leitura de pesquisas, testes diagnósticos, controle de qualidade e decisões feitas com informações parciais. Em todos esses contextos, precisamos definir claramente qual população ou qual evento funciona como condição.
Uma porcentagem dentro de um subgrupo não deve ser confundida com a porcentagem no total. Além disso, a fórmula não prova relações de causa e efeito: uma associação condicionada pode existir por motivos diferentes, inclusive fatores não medidos.
Passo a passo
- 01
Defina o evento de interesse A e a condição B, deixando claro o significado de “dado que”.
- 02
Verifique se P(B) é maior que zero; B será o novo universo considerado.
- 03
Encontre a chance de A e B ocorrerem juntos, ou conte os casos favoráveis dentro de B quando forem equiprováveis.
- 04
Divida P(A ∩ B) por P(B), simplifique e confira se o resultado está entre zero e um.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Dado condicionado ao resultado par
Considere um dado honesto. Sabendo que o resultado foi par, os casos possíveis se reduzem a {2, 4, 6}. Apenas o 6 atende a “maior que 4”, então P(maior que 4 | par) = 1/3.
Uma tabela de estudantes
Uma turma tem 20 alunos: 12 praticam esporte, e destes 5 também tocam instrumento. Entre os que praticam esporte, a probabilidade de tocar instrumento é 5/12, supondo sorteio uniforme de um aluno.
Cartas de duas cores
Uma caixa tem 4 cartões azuis (dois com estrela) e 6 vermelhos. Dado que o cartão sorteado é azul, o universo tem quatro cartões e dois favoráveis; portanto P(estrela | azul) = 2/4 = 1/2.
Retiradas sem reposição
Uma urna tem 3 bolas azuis e 2 vermelhas. Após retirar uma bola azul sem repor, restam duas azuis e duas vermelhas: P(azul na segunda | azul na primeira) = 2/4 = 1/2.
Regra do produto
Se P(A) = 0,4 e P(B|A) = 0,25, então a probabilidade de os dois eventos ocorrerem é P(A ∩ B) = P(A)×P(B|A) = 0,4×0,25 = 0,10 = 10%.
Lançamentos independentes
Uma moeda honesta é lançada duas vezes, com lançamentos independentes. Saber que a primeira deu cara não altera a chance de a segunda dar cara: P(cara na segunda | cara na primeira) = 1/2.
Contagem em tabela de dupla entrada
Em um grupo de 30 pessoas, 18 usam óculos e, entre elas, 12 leem diariamente. Se uma pessoa é escolhida uniformemente e sabemos que usa óculos, P(leitura diária | óculos) = 12/18 = 2/3.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Probabilidade Condicional
O que é probabilidade condicional?
É a probabilidade de um evento A acontecer considerando que outro evento B ocorreu. Escrevemos P(A|B) e usamos os resultados compatíveis com B como referência.
Qual é a fórmula da probabilidade condicional?
Para P(B)>0, a fórmula é P(A|B) = P(A∩B)/P(B). O numerador mede a ocorrência conjunta de A e B, e o denominador representa a condição B.
Por que a condição deve ter probabilidade maior que zero?
Porque a expressão elementar divide pela probabilidade da condição. Se P(B)=0, a divisão não está definida nessa fórmula e é preciso outro tratamento matemático.
Qual é a diferença entre probabilidade conjunta e condicional?
A probabilidade conjunta P(A∩B) mede a chance de ambos acontecerem. A condicional P(A|B) mede a chance de A dentro do universo em que B aconteceu.
Eventos independentes têm probabilidade condicional igual à original?
Sim, quando a condição tem probabilidade positiva: se A e B são independentes, P(A|B)=P(A). O conhecimento de B não muda a chance de A.
P(A|B) é sempre igual a P(B|A)?
Não. Em geral elas usam denominadores diferentes e produzem valores distintos. Para inverter a condição, é necessário conhecer outras probabilidades do problema.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.9 Conditional Probability and the Multiplication Rule — OpenStax — Contemporary Mathematics
- 7.4 Tree Diagrams, Tables, and Outcomes — OpenStax — Contemporary Mathematics