Função Modular: Gráfico, Vértice e Exercícios
Aprenda a função modular y=|x|, o gráfico em V, domínio, imagem, deslocamentos, zeros e aplicações de distância, com exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Interpretar módulo como distância e escrever a função por partes
- Ler o gráfico em V e calcular seu vértice, domínio e imagem
- Resolver problemas de zeros e desigualdades envolvendo módulo
Entenda o assunto
Aprenda a função modular y=|x|, o gráfico em V, domínio, imagem, deslocamentos, zeros e aplicações de distância, com exemplos e exercícios comentados.
Esta aula combina leitura de gráficos, interpretação algébrica e situações práticas. Os exemplos estão resolvidos e as atividades apresentam respostas explicadas na própria página.
O que significa o módulo de um número real?
O módulo, ou valor absoluto, de um número real é sua distância até o zero na reta numérica. Distâncias não são negativas: |4|=4 e |−4|=4. O módulo não representa simplesmente retirar o sinal sem compreender a distância.
A função f(x)=|x| recebe qualquer número real e devolve seu valor absoluto. Como entradas opostas produzem a mesma saída, essa função não é injetiva no domínio real completo.
Como escrever a função modular por partes?
Quando x é não negativo, |x|=x. Quando x é negativo, |x|=−x, pois o oposto de um número negativo é positivo. Essa descrição mostra que a função modular tem dois trechos lineares.
Por exemplo, para x=−3 usamos −x e obtemos 3; para x=2 usamos x e obtemos 2. O ponto de encontro dos dois trechos fica na origem.
Por que o gráfico da função modular tem formato de V?
À direita da origem, o gráfico coincide com a reta y=x, cuja inclinação é positiva. À esquerda, coincide com a reta y=−x, cuja inclinação é negativa quando percorremos x da esquerda para a direita.
Os dois trechos se unem em (0,0), formando um vértice sem canto arredondado. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y e permanece inteiramente sobre ou no eixo x.
Qual é o domínio e a imagem de f(x)=|x|?
Qualquer número real pode ser substituído dentro do módulo. Por isso, o domínio natural de f(x)=|x| é o conjunto R de todos os reais.
A saída nunca é negativa e o menor valor possível é zero, alcançado em x=0. Todos os números não negativos podem ser produzidos, então a imagem é [0,+∞).
Como localizar o vértice de |x−h|+k?
Na função g(x)=|x−h|+k, o módulo é mínimo quando x=h. Nesse ponto ele vale zero, de modo que g(h)=k. O vértice do gráfico em V é (h,k).
Em g(x)=|x−3|+2, o gráfico se desloca três unidades para a direita e duas para cima. O vértice é (3,2), e a imagem passa a ser [2,+∞).
O que muda em a|x−h|+k?
Quando a>0, o V abre para cima e tem mínimo igual a k. Quando a<0, ele se abre para baixo e tem máximo igual a k. O valor absoluto de a controla a inclinação dos dois braços.
Em g(x)=−2|x+1|+4, o vértice é (−1,4), o gráfico abre para baixo e a imagem é (−∞,4]. Multiplicar por −2 altera as saídas, não a coordenada horizontal do vértice.
Como encontrar os zeros de uma função modular?
Os zeros são as entradas que tornam a saída igual a zero. Quando isolamos uma equação como |x−h|=c, com c≥0, resolvemos dois casos: x−h=c ou x−h=−c.
Para g(x)=|x−2|−3, resolvemos |x−2|=3. Daí x−2=3 ou x−2=−3, resultando x=5 ou x=−1. São os pontos onde o V cruza o eixo x.
Como interpretar desigualdades com módulo?
A condição |x−c|<r, com r positivo, descreve números cuja distância até c é menor que r: um intervalo aberto entre c−r e c+r. Se a desigualdade for ≤, as extremidades são incluídas.
Por outro lado, |x−c|>r representa números fora do intervalo fechado entre esses limites. Em todos os casos, é indispensável considerar se r é positivo, zero ou negativo.
O que a simetria revela sobre a função modular?
A função básica |x| é par, pois f(−x)=|−x|=|x|=f(x). Isso explica a simetria do gráfico em relação ao eixo vertical.
Uma translação horizontal como |x−2| perde a simetria em relação ao eixo y, mas continua simétrica em relação à reta x=2. Identificar esse eixo ajuda a desenhar e conferir o gráfico.
Onde a função modular aparece no cotidiano?
O módulo mede desvios sem cancelar sinais opostos. Em |T−20|, por exemplo, avaliamos a distância entre a temperatura T e a referência de 20 graus, seja ela maior ou menor.
Se uma peça deve medir 10 cm com tolerância de 0,2 cm, a condição |x−10|≤0,2 equivale a 9,8≤x≤10,2. A função modular traduz precisamente o limite do desvio permitido.
Passo a passo
- 01
Interprete a expressão entre barras como uma distância.
- 02
Encontre onde o interior do módulo é zero e determine o vértice.
- 03
Divida a expressão em dois trechos ou interprete a distância no gráfico.
- 04
Confira domínio, imagem, zeros e restrições dos resultados.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Avaliação do módulo
Para f(x)=|x|, temos f(−7)=7, f(0)=0 e f(5)=5. Em todos os casos, o resultado é uma distância não negativa.
Representação por partes
g(x)=|x−2| corresponde a x−2 quando x≥2 e a 2−x quando x<2. Os dois trechos se encontram no ponto (2,0).
Vértice deslocado
Para g(x)=|x−3|+2, o valor mínimo surge em x=3, quando o módulo zera. Assim o vértice é (3,2) e a imagem é [2,+∞).
V invertido
h(x)=−2|x+1|+4 possui vértice (−1,4). Como o coeficiente é negativo, o valor 4 é máximo e a imagem é (−∞,4].
Zeros da função
Em |x−2|−3=0, obtemos |x−2|=3. Portanto x−2=±3, resultando nas duas soluções x=−1 e x=5.
Desigualdade com distância
|x−5|≤2 equivale a −2≤x−5≤2. Somando 5 aos três membros, obtemos 3≤x≤7, incluindo os extremos.
Tolerância de medida
Uma medida de 10 cm com tolerância de 0,2 cm satisfaz |x−10|≤0,2, ou seja, x deve estar entre 9,8 e 10,2 cm.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Função Modular
O módulo de um número pode ser negativo?
Não. O valor absoluto mede uma distância até o zero e, por isso, sua saída é sempre não negativa; o menor valor possível é zero.
Por que o gráfico de y=|x| tem formato de V?
Porque à esquerda da origem a função segue y=−x e à direita segue y=x. São duas semirretas que se encontram em (0,0).
Qual é o domínio da função modular básica?
Para f(x)=|x|, qualquer número real pode ser usado como entrada. Seu domínio é R e sua imagem, [0,+∞).
Como localizar o vértice de |x−h|+k?
Basta encontrar a entrada que zera o interior do módulo: x=h. A saída nesse ponto é k, de modo que o vértice é (h,k).
Função modular é o mesmo que equação modular?
Não. A função modular associa uma saída a cada entrada, como f(x)=|x|. A equação modular pede os valores de x que satisfazem uma igualdade com módulo.
Como resolver uma desigualdade do tipo |x−c|≤r?
Quando r é não negativo, a solução é o intervalo fechado [c−r,c+r], que reúne todos os pontos a uma distância no máximo r de c.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 3.6 Absolute Value Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 1.5 Transformation of Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.2 Domain and Range — OpenStax — Precalculus 2e