Domínio e Imagem de Funções: Guia Completo
Entenda domínio, imagem e contradomínio de funções, com restrições de raízes, frações e logaritmos, exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Determinar o domínio de funções polinomiais, racionais, radicais e logarítmicas
- Calcular imagem e distinguir imagem de contradomínio
- Usar intervalos, extremos e contexto corretamente
Entenda o assunto
Entenda domínio, imagem e contradomínio de funções, com restrições de raízes, frações e logaritmos, exemplos e exercícios comentados.
A análise será feita em três representações: expressão algébrica, tabela de valores e interpretação geométrica. Os exemplos explicam o raciocínio e os exercícios trazem o gabarito na própria página.
O que significam domínio e imagem?
O domínio é o conjunto de entradas admitidas pela função. A imagem é o conjunto de saídas efetivamente produzidas por essas entradas. Uma função precisa ter sua regra de associação e seu domínio claramente definidos.
Se f(x)=x² e x percorre todos os reais, qualquer entrada é permitida, mas apenas saídas não negativas são alcançadas. Portanto a imagem é [0,+∞), embora o domínio seja R.
Por que contradomínio não é imagem?
O contradomínio é o conjunto escolhido para receber as saídas, enquanto a imagem contém somente os valores que a função realmente atinge. Em f:R→R, f(x)=x², o contradomínio é R, mas a imagem é [0,+∞).
Essa distinção ajuda a entender funções sobrejetoras: uma função é sobrejetora em seu contradomínio quando todo elemento dele aparece na imagem. Não altere o contradomínio sem informar que mudou a função.
Como encontrar o domínio de funções racionais?
Quando a fórmula possui uma fração, qualquer x que zere o denominador deve ser excluído. Em f(x)=1/(x−2), a entrada x=2 tornaria a divisão impossível e não pertence ao domínio.
Não basta simplificar algebricamente antes de definir o domínio: uma expressão como (x²−1)/(x−1) ainda exclui x=1, mesmo quando é reescrita como x+1 para x≠1.
O domínio de raízes pares e ímpares
Uma raiz de índice par, no conjunto dos números reais, exige radicando não negativo. Para f(x)=√(x−1), temos x−1≥0 e o domínio é [1,+∞).
Raízes de índice ímpar aceitam argumentos negativos nos reais, como ∛(−8)=−2. O comportamento é diferente do de uma raiz quadrada, e trocar os dois casos gera restrições incorretas.
Restrições de domínio em logaritmos
Para logaritmos reais, o argumento deve ser estritamente positivo. Assim, log(x+3) só admite x>−3; o valor x=−3 não pode ser incluído porque log0 não existe.
A base do logaritmo também precisa ser positiva e diferente de um. Essas condições fazem parte da definição antes mesmo de começar a resolver equações com logaritmos.
Como encontrar a imagem de uma parábola?
Escreva a função na forma de vértice, f(x)=a(x−h)²+k. Se a>0 e o domínio é R, o valor k é mínimo e a imagem é [k,+∞). Se a<0, k é máximo e a imagem vai até k.
Por exemplo, f(x)=(x−2)²+1 é sempre pelo menos 1. A função assume 1 em x=2 e valores arbitrariamente grandes, então sua imagem é [1,+∞).
Por que √(x−1) nunca é negativa?
A raiz quadrada principal, por definição, retorna o número não negativo cujo quadrado é o radicando. Em f(x)=√(x−1), qualquer x admissível produz saída igual ou superior a zero.
A saída zero é obtida quando x=1. Conforme x aumenta, a raiz cresce sem limite superior, então a imagem é [0,+∞) enquanto o domínio começa em 1.
Como escrever domínio e imagem em intervalos?
Um colchete indica que o extremo está incluído; um parêntese indica exclusão. O infinito não é um número atingido, por isso sempre aparece com parêntese nas notações de intervalos.
No exemplo f(x)=1/x, x=0 é proibido e saída zero nunca ocorre. Domínio e imagem são R sem o zero, escritos como (−∞,0) ∪ (0,+∞).
Por que o contexto pode restringir o domínio?
Em situações reais, entradas podem representar comprimentos, quantidades ou tempos e não admitir números negativos ou valores fracionários. Mesmo uma expressão polinomial definida em R pode ter domínio menor no problema.
Se C(q)=10q+50 representa custo em reais para q produtos inteiros e q≥0, o domínio prático são os inteiros não negativos. A imagem possível é discreta: 50, 60, 70 e assim por diante.
Método para encontrar domínio e imagem com segurança
Primeiro identifique as operações da fórmula e suas proibições: denominador nulo, radicando negativo em raiz par e argumento não positivo do logaritmo. Depois considere restrições adicionais do enunciado.
Em seguida determine os valores efetivamente atingidos, observando mínimos, máximos, sinais e monotonicidade. A imagem não é descoberta apenas copiando o domínio: é preciso analisar as saídas.
Passo a passo
- 01
Identifique a regra de associação e o conjunto de referência informado.
- 02
Exclua entradas que causem divisão por zero, raiz par negativa ou logaritmo não positivo.
- 03
Determine quais valores de saída são de fato produzidos.
- 04
Represente os conjuntos em intervalos e verifique os extremos.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Domínio de um polinômio
Em f(x)=x²−3x+2, todas as entradas reais são válidas porque não há divisões, logaritmos ou raízes pares com radicando variável. O domínio é R.
Frações e restrições
Em f(x)=1/(x−2), x=2 zera o denominador. Logo D(f)=R\{2}; f(0)=−1/2 é permitido porque zero não é a entrada proibida.
Radicando não negativo
Para f(x)=√(x−1), resolva x−1≥0 e obtenha D(f)=[1,+∞). Como a raiz principal nunca é negativa e f(1)=0, Im(f)=[0,+∞).
Imagem da função quadrática
A expressão f(x)=(x−2)²+1 tem mínimo 1 em x=2; a imagem é [1,+∞), apesar de todas as entradas reais serem permitidas.
Logaritmo real
Em f(x)=log(x+3), o argumento deve ser positivo: x+3>0, logo x>−3. O domínio é (−3,+∞).
Furo no gráfico
A expressão f(x)=(x²−1)/(x−1) simplifica para x+1 somente com x≠1. O gráfico é a reta y=x+1 com o ponto (1,2) removido.
Conjunto discreto
Se f é dada pelos pares {(1,2),(3,2),(4,5)}, o domínio é {1,3,4}, e a imagem é {2,5}. Repetir uma saída não cria novo elemento na imagem.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Domínio e Imagem de Funções
Domínio e imagem são o mesmo conjunto?
Não necessariamente. Em f(x)=x² com domínio R, por exemplo, a imagem contém apenas os números reais não negativos.
Qual é a diferença entre imagem e contradomínio?
A imagem contém as saídas realmente produzidas; o contradomínio é o conjunto declarado para recebê-las e pode incluir valores não alcançados.
Posso incluir o zero no domínio de uma fração?
Depende do denominador. Zero é permitido quando não zera o denominador; em 1/x é proibido, mas em 1/(x−2) é permitido.
Por que raízes quadradas restringem a entrada?
No conjunto dos reais, a raiz principal √t só está definida quando t≥0. Portanto é necessário resolver a desigualdade do radicando.
Como reconhecer se o extremo pertence ao intervalo?
Se o valor é permitido ou atingido, use colchete. Se a entrada está proibida ou o valor não é alcançado, use parêntese.
O contexto de um problema muda o domínio?
Sim. A expressão C(q)=10q+50 aceita q real em abstrato, mas se q contar objetos indivisíveis, as entradas válidas são inteiros não negativos.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 1.2 Domain and Range — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.4 Composition of Functions — OpenStax — Precalculus 2e