Composição de Funções: Como Resolver Passo a Passo
Entenda composição de funções, ordem de aplicação, substituição algébrica e domínio de funções compostas, com exemplos e exercícios resolvidos.
O que você vai aprender
- Interpretar f(g(x)) e distinguir composição de produto
- Calcular composições na ordem correta e usar substituição algébrica
- Determinar restrições do domínio da função composta
Entenda o assunto
Entenda composição de funções, ordem de aplicação, substituição algébrica e domínio de funções compostas, com exemplos e exercícios resolvidos.
A análise será feita em três representações: expressão algébrica, tabela de valores e interpretação geométrica. Os exemplos explicam o raciocínio e os exercícios trazem o gabarito na própria página.
O que significa compor duas funções?
Compor funções é utilizar a saída de uma como entrada de outra. Na notação (f∘g)(x)=f(g(x)), a função g age primeiro sobre x e a função f age depois sobre o resultado.
A composição aparece em processos encadeados, como transformar uma medida e depois calcular o custo dela. Não é multiplicação de fórmulas nem simples soma: é uma substituição ordenada.
Por que calculamos de dentro para fora?
Os parênteses em f(g(x)) exigem conhecer g(x) antes de aplicar f. Se f(x)=2x+1 e g(x)=x², temos f(g(3))=f(9)=19.
Ao inverter a ordem, g(f(3))=g(7)=49. O fato de 19 e 49 serem diferentes mostra que, em geral, f∘g não coincide com g∘f.
Como obter uma fórmula para a composta?
Em f(x)=2x+1 e g(x)=x², substituímos cada x da expressão de f por g(x). O resultado é f(g(x))=2x²+1, sem alterar os coeficientes.
Para a ordem contrária, substituímos x de g por toda a expressão f(x), obtendo g(f(x))=(2x+1)²=4x²+4x+1. Escrever os parênteses evita o erro de elevar apenas um termo.
Composição não é produto de funções
O produto (fg)(x)=f(x)g(x) multiplica duas saídas calculadas na mesma entrada. Já a composição f(g(x)) aplica uma regra sobre a saída da outra, mantendo a ordem.
Com f(x)=2x+1 e g(x)=x², o produto vale (2x+1)x², enquanto a composta f∘g vale 2x²+1. Essas expressões são distintas e geralmente dão números diferentes.
Quais entradas são permitidas na composição?
O domínio de f∘g contém apenas as entradas para as quais g está definida e, além disso, g(x) pertence ao domínio de f. Conferir somente a função interna é insuficiente.
Por exemplo, se f(t)=√t e g(x)=x−3, então f(g(x))=√(x−3), com domínio x≥3. A regra externa impõe a restrição mesmo que g aceite todos os reais.
Quando a função externa tem denominador
Se f(t)=1/t e g(x)=x+2, a composição é 1/(x+2). Precisamos excluir x=−2, pois o valor produzido por g tornaria a aplicação de f impossível.
Embora g seja uma função afim definida em todos os reais, a composta não aceita a entrada que cria denominador zero na etapa externa. Isso demonstra por que as restrições precisam ser encadeadas.
Como lidar com uma raiz na etapa externa
Em f(t)=√t e g(x)=2x−6, a composta é √(2x−6). Para ter resultado real, exigimos 2x−6≥0, o que equivale a x≥3.
Se o radicando já resulta de outra função, analise o sinal dessa saída; não aplique uma condição genérica como x≥0 sem considerar a expressão interna completa.
Como encadear três ou mais funções?
Em f(g(h(x))), começamos aplicando h, depois g e por último f. A ordem dos parênteses precisa ser mantida, pois trocar a sequência pode mudar o resultado.
Com h(x)=x+1, g(x)=2x e f(x)=x², calculamos h(2)=3, g(3)=6 e f(6)=36. Essa leitura por etapas é útil para fluxos de conversão e processamento.
Como reconhecer funções dentro de uma expressão?
A expressão (3x−2)² pode ser vista como a composição de g(x)=3x−2 com f(t)=t². A função interna constrói o argumento e a externa eleva o resultado ao quadrado.
Mais de uma decomposição pode ser possível; a escolha depende do objetivo. A habilidade é útil na leitura de funções, inversas e, futuramente, no estudo da regra da cadeia.
Aplicações e verificação de uma função composta
Considere a temperatura em Celsius C e a conversão F(C)=1,8C+32. Se C(t)=2t+10 representa a temperatura em função do tempo, então F(C(t))=3,6t+50.
Para testar, em t=0 temos C(0)=10 e F(10)=50, concordando com a composta. Verificações numéricas ajudam, mas a justificativa algébrica precisa respeitar toda a ordem e os domínios.
Passo a passo
- 01
Identifique a função interna, que será aplicada primeiro.
- 02
Calcule ou escreva sua saída mantendo todos os parênteses.
- 03
Substitua essa saída na função externa e simplifique com cuidado.
- 04
Verifique se cada etapa está definida para a entrada usada.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Composição numérica
f(x)=2x+1 e g(x)=x²: para x=3, primeiro g(3)=9 e depois f(9)=19. A ordem é indicada pela notação f(g(3)).
Composição na ordem inversa
Com as mesmas funções, f(3)=7; portanto g(f(3))=7²=49, diferente de f(g(3))=19.
Substituição algébrica
f(x)=x+4 e g(x)=3x. Assim f(g(x))=3x+4, pois o argumento de f não é x, mas a expressão inteira 3x.
Composta quadrática
Se f(x)=x² e g(x)=x−2, então f(g(x))=(x−2)²=x²−4x+4, preservando os parênteses antes de expandir.
Raiz e restrição
f(t)=√t e g(x)=x−3: f(g(x))=√(x−3), que só existe nos reais para x≥3.
Frações e condição
f(t)=1/t e g(x)=x+2: f(g(x))=1/(x+2). Como x=−2 zera o denominador, essa entrada fica fora do domínio.
Temperatura em etapas
Com C(t)=2t+10 e F(C)=1,8C+32, compomos F(C(t))=1,8(2t+10)+32=3,6t+50, preservando as unidades.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Composição de Funções
Qual função é aplicada primeiro em f(g(x))?
A função g é aplicada primeiro à entrada x. Depois a saída g(x) é usada como argumento da função f.
Composição de funções é o mesmo que multiplicação?
Não. Em geral f(g(x)) difere de f(x)g(x); a primeira expressão encadeia regras, e a segunda multiplica resultados.
A composição é comutativa?
Em geral não. Por exemplo, com f(x)=2x+1 e g(x)=x², as expressões f(g(x)) e g(f(x)) são distintas.
Como calcular o domínio de uma composta?
Exija x no domínio da função interna e, simultaneamente, que a saída interna pertença ao domínio da função externa.
Por que preciso manter os parênteses?
Eles mostram qual expressão inteira entra na função externa. Em (x−2)², expandir sem os parênteses perde o termo −4x.
A composição serve para problemas cotidianos?
Sim. É útil em processos em etapas, como calcular uma quantidade física e depois converter unidades ou aplicar uma tarifa a esse resultado.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 1.4 Composition of Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.2 Domain and Range — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.5 Transformation of Functions — OpenStax — Precalculus 2e