Função Inversa: Como Calcular, Domínio e Gráfico
Aprenda a encontrar a função inversa, testar se ela existe, trocar domínio e imagem e verificar a resposta pela composição, com exemplos e exercícios.
O que você vai aprender
- Reconhecer quando uma função admite inversa no domínio escolhido
- Encontrar inversas algébricas e verificar por composição
- Interpretar domínio, imagem e simetria em relação à reta y=x
Entenda o assunto
Aprenda a encontrar a função inversa, testar se ela existe, trocar domínio e imagem e verificar a resposta pela composição, com exemplos e exercícios.
Esta aula combina leitura de gráficos, interpretação algébrica e situações práticas. Os exemplos estão resolvidos e as atividades apresentam respostas explicadas na própria página.
O que é a função inversa e para que serve?
Uma função inversa desfaz a transformação feita pela função original. Se uma função f leva uma entrada a até a saída b, sua inversa leva b de volta a a, desde que cada saída identifique uma única entrada.
Por exemplo, f(x)=2x+3 transforma 4 em 11. Sua inversa deve devolver 4 quando recebe 11. Isso permite reverter conversões de unidades, escalas e processos em que não ocorre perda de informação.
A notação f⁻¹ não significa 1/f(x)
O expoente −1 no símbolo f⁻¹ representa a função inversa, não uma potência aplicada ao valor de f. O recíproco 1/f(x) é uma função diferente, quando está definido.
Se f(x)=2x, temos f⁻¹(x)=x/2, enquanto 1/f(x)=1/(2x). Para x=4, as respostas são 2 e 1/8, respectivamente. Não confunda as duas operações.
Quando uma função admite inversa?
Para ter uma inversa que também seja função da imagem de f para seu domínio, cada saída da função original deve vir de uma única entrada. Essa propriedade chama-se injetividade.
Uma reta horizontal que corta o gráfico de f em dois pontos revela duas entradas com a mesma saída. Nesse caso, a inversão da correspondência não seria função, a menos que o domínio original seja restringido.
Como calcular a inversa de uma função algébrica?
Escreva y=f(x), isole x em função de y e, por fim, troque os nomes das variáveis para apresentar a regra como f⁻¹(x). O isolamento precisa respeitar as restrições das operações utilizadas.
Para f(x)=3x−6, partimos de y=3x−6 e obtemos x=(y+6)/3. Portanto, f⁻¹(x)=(x+6)/3, com domínio e imagem reais.
Como verificar a inversa por composição?
Duas funções inversas se desfazem mutuamente. Ao compor f com f⁻¹, a saída deve ser a própria entrada, no domínio correto de cada uma das composições.
Com f(x)=3x−6 e g(x)=(x+6)/3, calculamos f(g(x))=3((x+6)/3)−6=x e g(f(x))=((3x−6)+6)/3=x. As duas verificações confirmam a inversão.
O que acontece com domínio e imagem?
A inversa troca o papel das entradas e saídas: o domínio de f⁻¹ é a imagem de f; a imagem de f⁻¹ é o domínio de f. É importante não trocar esses conjuntos pelo contradomínio sem justificar a correspondência.
Se f(x)=x² com domínio restrito a [0,+∞), sua imagem também é [0,+∞). A inversa é f⁻¹(x)=√x, definida apenas para entradas x não negativas.
Por que x² precisa de restrição de domínio?
No conjunto de todos os reais, f(x)=x² não é injetiva: os números 2 e −2 produzem a mesma saída 4. Reverter a saída 4 geraria dois candidatos, o que não define uma função inversa.
Quando restringimos a entrada a x≥0, cada valor da imagem tem um único antecedente e a inversa é √x. Se escolhermos x≤0, a inversa passa a ser −√x. O domínio escolhido determina a resposta.
Como identificar a inversa no gráfico?
Cada ponto (a,b) do gráfico original corresponde ao ponto (b,a) no gráfico da função inversa. Essa troca de coordenadas é uma reflexão em torno da reta y=x.
Por exemplo, o ponto (1,3) da função f(x)=2x+1 corresponde a (3,1) em f⁻¹(x)=(x−1)/2. Os dois pontos ficam em posições simétricas em relação à diagonal.
Inversa de função racional e restrições
Para f(x)=1/(x−2), a entrada x=2 é proibida. A função não produz a saída zero. Essas restrições devem aparecer na inversa, mesmo quando a expressão obtida parece simples.
De y=1/(x−2) obtemos x=2+1/y e, portanto, f⁻¹(x)=2+1/x, com x≠0. A imagem da inversa exclui 2, exatamente o valor que não pertence ao domínio original.
Aplicações da função inversa e erros comuns
Converter graus Celsius em Fahrenheit pela regra F(C)=1,8C+32 é um processo reversível. Para recuperar Celsius a partir de Fahrenheit, basta isolar C: C=(F−32)/1,8.
Antes de declarar a inversa, confira se a função original é injetiva no domínio usado, se a fórmula obtida realmente desfaz a original e se as restrições de domínio foram mantidas.
Passo a passo
- 01
Verifique se saídas distintas identificam entradas distintas no domínio escolhido.
- 02
Escreva y=f(x) e isole x sem esquecer denominadores e raízes.
- 03
Troque as letras e determine domínio e imagem da função inversa.
- 04
Confirme as duas composições quando estiverem definidas.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Reta simples
Se f(x)=2x+3, escreva y=2x+3 e isole x=(y−3)/2. Logo f⁻¹(x)=(x−3)/2; conferindo, f(f⁻¹(11))=11.
Troca de pares
Se f(4)=11 e f é injetiva, a inversa satisfaz f⁻¹(11)=4. As coordenadas (4,11) e (11,4) se refletem sobre y=x.
Inversa de uma reta decrescente
Dada f(x)=5−x, temos y=5−x e x=5−y. Assim f⁻¹(x)=5−x: neste caso particular, a função é sua própria inversa.
Quadrática com domínio restrito
Para f(x)=x² definida somente em x≥0, y=x² implica x=√y. Logo f⁻¹(x)=√x para x≥0; sem a restrição inicial não existiria inversa funcional nos reais.
Função racional
Para f(x)=1/(x−2), com x≠2, a resolução y=1/(x−2) produz x=2+1/y. Assim f⁻¹(x)=2+1/x, com x≠0.
Composição como confirmação
Se f(x)=4x−8 e g(x)=x/4+2, então f(g(x))=4(x/4+2)−8=x e g(f(x))=(4x−8)/4+2=x.
Conversão de temperaturas
F(C)=1,8C+32 tem inversa C(F)=(F−32)/1,8. Para 68 °F, calculamos (68−32)/1,8=20 °C; a função inversa desfaz a conversão.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Função Inversa
Qual é a diferença entre função inversa e recíproca?
A inversa desfaz a associação entre entrada e saída; a recíproca é 1/f(x). As expressões geralmente são diferentes e possuem restrições distintas.
Toda função admite função inversa?
Não. Para existir uma função inversa da imagem para o domínio, é necessário que f seja injetiva, isto é, que saídas iguais não venham de entradas diferentes.
Como obter a inversa de uma função do primeiro grau?
Escreva y=ax+b, com a diferente de zero, isole x=(y−b)/a e substitua y por x. Resulta f⁻¹(x)=(x−b)/a.
Uma parábola pode ter função inversa?
Sim, quando escolhemos um intervalo de domínio em que seja injetiva, como x≥0 para f(x)=x². Então a inversa correspondente é √x.
Como verificar se encontrei a inversa correta?
Calcule f(f⁻¹(x)) e f⁻¹(f(x)); ambas devem devolver x nos domínios adequados. Também é preciso conferir as restrições dos conjuntos envolvidos.
Por que os gráficos ficam simétricos em relação a y=x?
Porque a inversão troca cada par ordenado (a,b) por (b,a). Geometricamente, essa troca é a reflexão de pontos na reta diagonal y=x.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 1.7 Inverse Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.4 Composition of Functions — OpenStax — Precalculus 2e
- 1.2 Domain and Range — OpenStax — Precalculus 2e