Inequações Trigonométricas: Seno e Cosseno
Aprenda a resolver desigualdades com seno e cosseno no ciclo trigonométrico, identificar arcos de referência e escrever intervalos em radianos.
O que você vai aprender
- Identificar regiões do ciclo em que seno ou cosseno satisfazem desigualdades
- Escrever conjuntos-solução no intervalo de zero a dois pi com extremos corretos
- Entender a periodicidade e ampliar as soluções para todos os reais
Entenda o assunto
Aprenda a resolver desigualdades com seno e cosseno no ciclo trigonométrico, identificar arcos de referência e escrever intervalos em radianos.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que são inequações trigonométricas
Uma inequação trigonométrica compara valores de seno, cosseno ou tangente com um número real. Resolver é localizar todos os ângulos nos quais essa comparação é verdadeira, respeitando o intervalo pedido.
Por exemplo, sen x≥1/2 em [0,2π] pergunta onde a altura de um ponto da circunferência unitária é no mínimo 1/2. A solução é [π/6,5π/6].
Circunferência unitária e coordenadas
No círculo trigonométrico, o ponto correspondente a x radianos tem coordenadas (cos x, sen x). O seno corresponde à coordenada vertical e o cosseno à coordenada horizontal.
A desigualdade cos x>0 seleciona os pontos no semiplano direito. Em [0,2π], o resultado é [0,π/2)∪(3π/2,2π], incluindo os extremos zero e dois pi.
Limites naturais de seno e cosseno
As funções seno e cosseno assumem somente valores entre −1 e 1. Antes de localizar ângulos, compare o limite pedido com essa faixa para reconhecer desigualdades sempre verdadeiras ou impossíveis.
Por exemplo, sen x>1 não admite solução real, enquanto cos x≥−1 vale para qualquer x. Para sen x≤1, também não há restrições além do intervalo indicado.
Ângulos notáveis e seus valores
Os ângulos π/6, π/4 e π/3 radianos correspondem a 30°, 45° e 60°. Seus valores de seno e cosseno ajudam a localizar as fronteiras de muitas inequações sem calculadora.
Sabemos que sen(π/6)=1/2, sen(π/3)=√3/2 e cos(π/3)=1/2. Para sen x≥1/2, procure a região entre os dois pontos de altura 1/2 no semicírculo superior.
Resolver uma comparação com seno
Para sen x≥1/2 em um ciclo completo, a coordenada vertical deve ser pelo menos 1/2. Isso acontece do ângulo π/6 até 5π/6, incluindo as duas extremidades por causa da igualdade.
Já sen x>1/2 descreve (π/6,5π/6), aberto. A diferença entre > e ≥ altera apenas a participação dos arcos de fronteira, não o interior da região selecionada.
Resolver uma comparação com cosseno
A desigualdade cos x≤1/2 inclui os pontos cuja coordenada horizontal é no máximo 1/2. Em [0,2π], isso ocorre de π/3 até 5π/3, incluindo as extremidades.
Para cos x<1/2, os dois pontos de igualdade devem ser removidos, formando o intervalo aberto (π/3,5π/3).
Sinais nos quatro quadrantes
O seno é positivo nos quadrantes primeiro e segundo e negativo nos terceiro e quarto. O cosseno é positivo nos quadrantes primeiro e quarto e negativo nos segundo e terceiro.
Consequentemente, sen x≤0 em [0,2π] inclui x=0, todo o semicírculo inferior de π a 2π e também os pontos de seno nulo. Escrevemos {0}∪[π,2π].
Entender a periodicidade de dois pi
As funções seno e cosseno repetem seus valores quando adicionamos 2π ao argumento. Uma solução encontrada em um ciclo pode ser transportada para outras voltas somando 2kπ, com k inteiro.
Para sen x≥1/2 em todos os reais, escrevemos x∈[π/6+2kπ,5π/6+2kπ], k∈ℤ. O intervalo [0,2π] é apenas uma janela para estudar a repetição.
Cuidados com unidades e extremos
Graus e radianos descrevem os mesmos ângulos usando escalas diferentes: 180°=π rad. Misturar unidades em uma resposta sem conversão pode deslocar todos os limites de modo incorreto.
Além disso, em [0,2π] os valores 0 e 2π representam o mesmo ponto geométrico, mas são números distintos do intervalo e podem aparecer ambos no conjunto-solução.
Conferir a inequação pela curva
No gráfico do seno, trace a reta horizontal correspondente ao limite e observe onde a curva está acima ou abaixo dela. Essa leitura confirma a ordem das fronteiras e o sentido da desigualdade.
Na comparação sen x≥1/2, π/2 satisfaz porque sen(π/2)=1, enquanto π não satisfaz porque sen π=0. As fronteiras π/6 e 5π/6 são incluídas porque produzem exatamente 1/2.
Passo a passo
- 01
Verifique o domínio angular e se a comparação é possível, pois seno e cosseno variam de −1 a 1.
- 02
Marque os ângulos de igualdade usando valores notáveis no ciclo trigonométrico.
- 03
Selecione os arcos onde o seno ou cosseno atende ao símbolo de comparação.
- 04
Escreva os intervalos com extremos corretos e, se pedido em ℝ, use a periodicidade 2π.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Seno acima de meio
Em [0,2π], sen x≥1/2 equivale a π/6≤x≤5π/6; o ponto π/2 está no trecho selecionado.
Seno estritamente positivo
Em [0,2π], sen x>0 ocorre em (0,π), sem os extremos, onde o seno vale zero.
Cosseno no máximo meio
Em [0,2π], cos x≤1/2 vale em [π/3,5π/3], incluindo os arcos nos quais cos x=1/2.
Cosseno positivo
Em [0,2π], cos x>0 vale em [0,π/2)∪(3π/2,2π]. Os limites π/2 e 3π/2 são excluídos.
Comparação impossível
sen x>1 não tem solução, porque a maior altura na circunferência unitária é 1.
Seno não positivo
Em [0,2π], sen x≤0 é {0}∪[π,2π]; o seno é negativo na parte de baixo e zera nos eixos.
Repetição em todos os ciclos
sen x≥1/2 em ℝ é [π/6+2kπ,5π/6+2kπ], com k inteiro, devido ao período 2π.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Trigonométricas
Qual é a diferença entre seno e cosseno no círculo?
Seno mede a coordenada vertical do ponto da circunferência unitária, enquanto o cosseno mede a coordenada horizontal.
Por que as soluções costumam ser intervalos?
Muitos ângulos consecutivos satisfazem a desigualdade, formando um arco que corresponde a um intervalo de valores reais.
Como indico todas as soluções reais?
Acrescente múltiplos inteiros de 2π aos intervalos encontrados em um ciclo completo, usando k pertencente aos inteiros.
Devo incluir os pontos de igualdade?
Sim para ≤ e ≥, não para < e >. A mesma regra dos intervalos reais se aplica às fronteiras trigonométricas.
Zero e dois pi são iguais?
Representam o mesmo ponto no círculo, mas são valores reais diferentes; ambos pertencem ao intervalo fechado [0,2π].
Posso resolver usando gráfico no lugar do círculo?
Sim. Compare a curva de seno ou cosseno com uma reta horizontal na altura indicada e identifique as regiões pedidas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.2 Right Triangle Trigonometry — OpenStax — College Algebra 2e
- 7.5 Graphs of Sine and Cosine Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 8.1 Non-right Triangles: Law of Sines — OpenStax — College Algebra 2e