Equações Fracionárias: Domínio, MMC e Soluções
Aprenda a resolver equações com incógnita no denominador, determinar restrições, usar o MMC e conferir soluções estranhas com exemplos comentados.
O que você vai aprender
- Identificar valores que anulam os denominadores antes de operar
- Eliminar denominadores de forma válida usando o mínimo múltiplo comum
- Conferir soluções obtidas na equação original e descartar valores proibidos
Entenda o assunto
Aprenda a resolver equações com incógnita no denominador, determinar restrições, usar o MMC e conferir soluções estranhas com exemplos comentados.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que é uma equação fracionária
Uma equação fracionária contém a incógnita em pelo menos um denominador, como 1/(x−1)=2. O objetivo é encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira e mantêm todas as frações definidas.
A presença de frações não significa que qualquer equação seja fracionária no sentido algébrico: o cuidado particular surge quando o valor de x pode zerar o denominador. Em 1/(x−1)=2, por exemplo, x=1 é proibido.
Comece pelo domínio de validade
Antes de somar, multiplicar ou simplificar frações, imponha que cada denominador original seja diferente de zero. Em 2/(x+1)=1, a condição de existência é x≠−1, independentemente da conta seguinte.
Essas exclusões não desaparecem quando uma expressão é simplificada. Em (x²−1)/(x−1)=0, a fatoração permite reduzir a fração a x+1, mas apenas sob a condição original x≠1.
Multiplicação cruzada com restrições
Para resolver a igualdade A/B=C/D, desde que B≠0 e D≠0, pode-se multiplicar ambos os lados por BD, chegando a AD=BC. Essa transformação é equivalente somente no domínio já identificado.
Em (x+2)/(x−3)=2, registre x≠3. Ao multiplicar por x−3, obtenha x+2=2x−6, logo x=8. Substituindo: 10/5=2, confirmando a resposta.
Denominadores constantes e variáveis
Quando a equação mistura denominadores numéricos e expressões com x, procure um multiplicador que elimine todos ao mesmo tempo. A equação 1/x+1/2=1 pode ser multiplicada por 2x, com x≠0.
O resultado 2+x=2x fornece x=2. Fazer essa multiplicação sem indicar x≠0 ocultaria a condição necessária para que a expressão original 1/x exista.
MMC de fatores algébricos
Quando surgem denominadores como x−1 e x+1, o mínimo múltiplo comum pode ser (x−1)(x+1). Identifique os fatores distintos e mantenha registrados os valores que zeram qualquer um deles.
Na equação 1/(x−1)+1/(x+1)=1, o domínio exclui −1 e 1. Multiplicando por x²−1, obtemos (x+1)+(x−1)=x²−1, ou x²−2x−1=0.
Quando aparecem raízes quadráticas
Eliminar os denominadores pode produzir uma equação do segundo grau, que deve ser resolvida normalmente. Ao final, compare cada raiz com as restrições anotadas e verifique a igualdade original.
Para 1/(x−1)+1/(x+1)=1, a equação x²−2x−1=0 oferece x=1±√2. Os dois resultados são diferentes de ±1, logo permanecem candidatos válidos e satisfazem a equação.
Fatores cancelados não apagam furos
A simplificação algébrica pode esconder pontos excluídos. Se o denominador contém x−1, o valor 1 continua proibido, mesmo quando o fator x−1 é cancelado em numerador e denominador.
Em (x²−1)/(x−1)=0, para x≠1, a fração equivale a x+1. Assim, x=−1 é solução, enquanto x=1 não pertence ao domínio apesar de aparecer no fator do numerador original.
Equações sem solução
Uma equação fracionária pode transformar-se numa igualdade impossível, ou produzir somente valores proibidos. Nesses dois cenários o conjunto-solução real é vazio, mesmo que cada expressão exista para vários x.
Na equação 1/(x−2)=1/(x+2), com x≠±2, a multiplicação cruzada produziria x+2=x−2, equivalente a 2=−2. Nenhum real satisfaz essa igualdade.
Cuidado ao dividir pela incógnita
Dividir ambos os lados por uma expressão com x só é seguro quando se sabe que ela não vale zero. Uma divisão precipitada pode retirar uma solução válida ou esconder uma restrição que já existia.
Em 3/x=x, o domínio exige x≠0. Multiplicando por x, obtemos x²=3 e portanto x=±√3. Ambos são diferentes de zero e atendem à equação original.
Conferência e interpretação gráfica
Depois da resolução, substitua cada candidato na igualdade de partida e confira que nenhum denominador seja zero. O gráfico pode apoiar a compreensão: as soluções são os valores de x nos quais as expressões se igualam.
No exemplo 1/(x−1)=2, a hipérbole cruza a reta horizontal y=2 em x=3/2. A reta vertical x=1 é uma assíntota, e não uma solução: nesse valor a fração não está definida.
Passo a passo
- 01
Liste todos os valores que zeram denominadores originais e exclua-os do domínio.
- 02
Encontre o MMC ou faça multiplicação cruzada apenas entre frações válidas.
- 03
Resolva a equação algébrica sem esquecer as restrições anotadas.
- 04
Confira cada resultado na expressão inicial e apresente só soluções permitidas.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Fração simples
1/(x−1)=2, com x≠1: multiplicar por x−1 dá 1=2x−2, portanto x=3/2. Conferindo, 1/(1/2)=2.
Denominador linear
2/(x+1)=1 exige x≠−1; então 2=x+1 e x=1, que torna ambos os lados iguais a 1.
Quociente de polinômios
(x+2)/(x−3)=2, com x≠3: x+2=2(x−3), portanto x=8, que satisfaz 10/5=2.
Dois tipos de denominadores
1/x+1/2=1, com x≠0: multiplicar tudo por 2x produz 2+x=2x e a solução x=2.
MMC algébrico
1/(x−1)+1/(x+1)=1, para x≠±1, leva a x²−2x−1=0; assim x=1−√2 ou x=1+√2.
Cancelamento com domínio
(x²−1)/(x−1)=0 é equivalente a x+1=0 somente para x≠1. Logo x=−1 é a única solução.
Igualdade sem solução
1/(x−2)=1/(x+2) exige x≠±2; os produtos cruzados dariam x+2=x−2, impossível.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Equações Fracionárias
Toda fração pode ser simplificada antes de resolver?
Sim, quando houver fator comum, mas os valores proibidos pelos denominadores originais devem continuar excluídos.
Por que uma solução pode ser descartada?
Um candidato que zera algum denominador original não pertence ao domínio, mesmo se resolver a equação após uma transformação.
O que faço quando há dois denominadores diferentes?
Fatore os denominadores, encontre o MMC, anote as exclusões e só então multiplique toda a igualdade pelo MMC.
Posso fazer multiplicação cruzada em qualquer situação?
A regra entre duas frações é válida no domínio em que os dois denominadores são não nulos; para somas é preciso antes reduzir a frações.
Uma equação fracionária pode ter duas soluções?
Sim. Após eliminar os denominadores pode surgir uma equação quadrática com duas raízes reais permitidas.
Qual é a verificação final mais importante?
Substituir cada raiz na equação original e comprovar ao mesmo tempo os valores dos dois membros e a validade de todos os denominadores.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 1.6 Rational Expressions — OpenStax — College Algebra 2e
- 2.6 Other Types of Equations — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e