Inequações Racionais: Tabela de Sinais
Estude inequações racionais com numerador e denominador, pontos críticos, tabela de sinais e intervalos, evitando incluir valores que anulam o denominador.
O que você vai aprender
- Identificar zeros do numerador e exclusões do denominador
- Construir e interpretar o estudo de sinais por intervalos
- Resolver inequações racionais e expressar a resposta por intervalos
Entenda o assunto
Estude inequações racionais com numerador e denominador, pontos críticos, tabela de sinais e intervalos, evitando incluir valores que anulam o denominador.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que é uma inequação racional
Uma inequação racional compara uma fração algébrica com zero ou outra expressão. Por exemplo, (x−2)/(x+1)>0 pede os valores de x para os quais o quociente é positivo.
O resultado depende dos sinais do numerador e do denominador. A fração é positiva quando ambos têm sinais iguais e negativa quando apresentam sinais opostos.
Denominador igual a zero é proibido
Qualquer valor que zere o denominador deve ser excluído do domínio original, independentemente da operação ou do sinal da desigualdade. Em (x−2)/(x+1), temos x≠−1.
O ponto x=−1 é uma descontinuidade e não pode entrar na solução. Já x=2 apenas zera o numerador; pode ser incluído em ≥ ou ≤ se o denominador for não nulo.
Levar os termos ao mesmo lado
Quando uma inequação racional aparece como 1/(x−1)>2, não multiplique diretamente por x−1 sem conhecer o sinal desse fator. A multiplicação por número negativo inverteria a comparação.
O caminho mais seguro é escrever [1−2(x−1)]/(x−1)>0, obtendo (3−2x)/(x−1)>0, e analisar o sinal dos fatores sem presumir o sinal do denominador.
Encontrar zeros e polos
Os pontos críticos são zeros do numerador e valores proibidos do denominador. Para (x−2)/(x+1), eles são x=2 e x=−1, que dividem a reta em três intervalos.
Esses pontos são apenas fronteiras. A escolha dos intervalos corretos depende de um teste de sinal em cada região e da inclusão ou exclusão de cada fronteira.
Tabela de sinais para uma fração
Para (x−2)/(x+1), use −2 no intervalo (−∞,−1), 0 em (−1,2) e 3 em (2,+∞). Os quocientes são, respectivamente, positivo, negativo e positivo.
Logo, (x−2)/(x+1)>0 tem solução (−∞,−1)∪(2,+∞). O valor −1 é proibido, e o valor 2 não satisfaz uma desigualdade estrita.
Diferença entre sinais estritos e não estritos
Quando o sinal é ≥0, zeros válidos do numerador podem ser incluídos. Entretanto, zeros do denominador continuam excluídos, mesmo que apareçam após uma simplificação algébrica.
Para (x−2)/(x+1)≥0, incluímos x=2 e obtemos (−∞,−1)∪[2,+∞). Não há razão para incluir x=−1 em nenhuma forma da resposta.
Fatores e multiplicidades
Uma inequação como (x−1)(x+2)/(x−3)≤0 exige analisar três fatores. Cada zero simples muda o sinal; fatores de multiplicidade par podem não alterar o sinal ao serem atravessados.
Os pontos críticos −2, 1 e 3 particionam os reais. Testando um ponto por intervalo, encontramos sinais negativo, positivo, negativo e positivo, respectivamente.
Cancelar fatores sem recuperar pontos proibidos
Em [(x−1)(x+2)]/[(x−1)(x−3)], a expressão simplifica para (x+2)/(x−3), mas a condição original x≠1 e x≠3 continua válida.
A simplificação não preenche o furo em x=1. Esse detalhe altera soluções de desigualdades não estritas ou intervalos que atravessariam o ponto excluído.
Frações com mais de um fator no denominador
Para 1/[(x−1)(x+2)]>0, os pontos proibidos são 1 e −2. O produto do denominador é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal.
Desse modo, a solução é x<−2 ou x>1. Entre −2 e 1, um fator é positivo e outro negativo, portanto a fração é negativa nesse intervalo.
Verificação de intervalos e interpretação
Um esboço da reta numérica ajuda a evitar saltos no estudo de sinais. Anote cada ponto crítico, marque as exclusões e teste pelo menos um valor em cada intervalo.
Quando há fatores ao quadrado, valores cancelados ou expressões com várias operações, não presuma alternância automática de sinais. A tabela deve refletir a expressão e o domínio originais.
Passo a passo
- 01
Leve todos os termos a um lado e escreva uma única fração, sem multiplicar por denominadores de sinal incerto.
- 02
Registre os valores que anulam o denominador e os zeros do numerador.
- 03
Determine o sinal de cada fator em todos os intervalos delimitados pelos pontos críticos.
- 04
Selecione intervalos coerentes com >, ≥, < ou ≤; inclua somente os zeros de numerador permitidos.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Quociente positivo
(x−2)/(x+1)>0: pontos −1 e 2; sinais positivo, negativo, positivo. Resposta (−∞,−1)∪(2,+∞).
Quociente não negativo
(x−2)/(x+1)≥0: o zero x=2 é permitido, mas x=−1 é proibido. Resposta (−∞,−1)∪[2,+∞).
Quociente negativo
(x−2)/(x+1)<0: os fatores têm sinais opostos somente em −1<x<2.
Denominador com dois fatores
1/[(x−1)(x+2)]>0: o denominador é positivo para x<−2 ou x>1. Ambos os extremos são excluídos.
Produto e quociente
(x−1)(x+2)/(x−3)≤0: sinais por intervalo dão (−∞,−2]∪[1,3), preservando a exclusão x=3.
Sem multiplicar pelo denominador
1/(x−1)>2 equivale a (3−2x)/(x−1)>0. Pontos 1 e 3/2, então 1<x<3/2.
Cancelamento com furo
[(x−1)(x+2)]/[(x−1)(x−3)]≥0, com x≠1,3. A forma reduzida dá (−∞,−2]∪(3,+∞), que já não inclui o furo x=1.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Racionais
Posso multiplicar ambos os lados pelo denominador?
Só se conhecer seu sinal e preservar o domínio. A estratégia mais segura é reunir tudo em uma fração e estudar os sinais.
O que diferencia zero do numerador e do denominador?
O zero do numerador torna a fração igual a zero, quando o denominador não zera. O zero do denominador torna a expressão indefinida.
Como decidir se uma fronteira é aberta?
Exclua sempre valores que zeram o denominador; inclua zeros válidos do numerador apenas em desigualdades não estritas.
Todo ponto crítico faz o sinal mudar?
Não. Fatores com multiplicidade par podem manter o sinal. Para evitar erros, analise os fatores e teste valores dos intervalos.
A simplificação remove uma restrição de domínio?
Não. Ao cancelar um fator, mantenha a exclusão que existia no denominador original, mesmo se a expressão reduzida estiver definida nesse ponto.
Como organizar a tabela de sinais?
Marque zeros do numerador e denominador em ordem crescente, determine o sinal dos fatores em cada intervalo e combine-os para obter o sinal final.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 5.6 Rational Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 1.6 Rational Expressions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.6 Exponential and Logarithmic Equations — OpenStax — College Algebra 2e