Inequações Logarítmicas: Domínio e Bases
Resolva inequações com logaritmos, bases maiores ou menores que um, argumentos positivos e intervalos válidos, com exemplos e exercícios explicados.
O que você vai aprender
- Estabelecer o domínio dos argumentos antes da resolução
- Comparar logaritmos de mesma base considerando a monotonicidade
- Escrever a interseção entre domínio e solução como intervalos
Entenda o assunto
Resolva inequações com logaritmos, bases maiores ou menores que um, argumentos positivos e intervalos válidos, com exemplos e exercícios explicados.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
Como reconhecer a inequação logarítmica
Uma inequação logarítmica compara expressões com logaritmos, como log₂(x−1)>2. Diferentemente de uma equação, ela procura um intervalo de números reais que satisfaz a comparação.
Para log₂(x−1)>2, primeiro impomos x−1>0, ou x>1. Como a base 2 é maior que um, x−1>4 e x>5, já compatível com o domínio.
Argumentos devem ser estritamente positivos
Todo logaritmo real logₐ(U) exige a>0, a≠1 e U>0. Se há dois logaritmos, todos os argumentos precisam ser positivos simultaneamente antes de aplicar qualquer regra.
Na comparação log₂(x−1)<log₂(5−x), exigimos x>1 e x<5. O domínio conjunto é (1,5), e qualquer candidato fora dele será descartado.
Bases maiores que um preservam o sentido
Se a>1, logₐ(x) é estritamente crescente em x>0. Assim, logₐ(U)>logₐ(V) equivale a U>V quando U e V são positivos.
Exemplo: log₃(x+1)≥log₃(4) implica x+1≥4, portanto x≥3. Como x+1>0 nesse conjunto, a solução final continua [3,+∞).
Bases entre zero e um invertem a ordem
Quando 0<a<1, a função logarítmica é estritamente decrescente. Portanto, logₐ(U)>logₐ(V) equivale a U<V, desde que U>0 e V>0.
Para log₁/₂(x)>log₁/₂(4), a condição é x>0, e a comparação equivale a x<4. O resultado é 0<x<4; o zero nunca pode ser incluído.
Comparando um logaritmo com uma constante
Uma constante pode ser reescrita como logaritmo da mesma base. Por exemplo, 2=log₂(4), permitindo comparar log₂(x−1)≤2 diretamente com log₂(4).
Como a base é crescente e x−1>0, obtemos x−1≤4, ou x≤5. Ao cruzar com x>1, a resposta é o intervalo (1,5].
Interseção entre domínio e desigualdade
O resultado algébrico pode conter valores proibidos. Por isso, determine primeiro o domínio D e depois resolva a comparação, obtendo um conjunto S. A resposta real é D∩S.
Por exemplo, log₂(x−3)<1 exige x>3. Pela monotonicidade, x−3<2, então x<5. Logo, a resposta correta é (3,5), e não todo x menor que 5.
Duas expressões variáveis como argumentos
Em log₂(x−1)≥log₂(7−x), o domínio é x>1 e x<7. Como a base cresce, basta resolver x−1≥7−x, o que fornece x≥4.
A interseção resulta [4,7). O limite 4 é aceito porque a igualdade é permitida; o limite 7 fica de fora pois 7−x precisa ser positivo.
Produtos e quocientes em argumentos
As propriedades logₐ(UV)=logₐ(U)+logₐ(V) exigem U>0 e V>0 quando ambos aparecem como logaritmos separados. Não substitua condições de domínio sem justificativa.
Em log₂(x)+log₂(x−2)≥3, o domínio é x>2. Então log₂[x(x−2)]≥3 implica x(x−2)≥8, isto é, (x−4)(x+2)≥0. Com x>2, resta x≥4.
Estudo do sinal em desigualdades auxiliares
Quando a redução gera uma inequação quadrática ou racional, resolva-a por sinal e só depois faça a interseção com o domínio logarítmico. Não descarte restrições encontradas antes.
Na condição (x−4)(x+2)≥0, o produto é não negativo para x≤−2 ou x≥4. Porém, o domínio x>2 elimina todo o ramo x≤−2.
Síntese, gráfico e erros frequentes
O gráfico logarítmico só existe onde seu argumento é positivo e tem assíntota na fronteira do domínio. Bases maiores que um crescem; bases entre zero e um decrescem.
Os equívocos principais são aceitar argumento zero, esquecer a interseção final ou inverter a desigualdade para a base errada. Sempre confira uma resposta com substituição numérica.
Passo a passo
- 01
Anote todas as condições argumento>0 e as restrições da base.
- 02
Converta constantes em logaritmos da mesma base ou use propriedades válidas, mantendo o domínio.
- 03
Compare argumentos conforme a base seja crescente ou decrescente e resolva as inequações auxiliares.
- 04
Intercepte o resultado com o domínio e indique corretamente extremos abertos ou fechados.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Base maior que um
log₂(x−1)>3 exige x>1 e equivale a x−1>8, logo x>9.
Intervalo com extremo fechado
log₂(x−1)≤2 exige x>1 e x−1≤4, fornecendo (1,5].
Base menor que um
log₁/₂(x)>−2 = log₁/₂(4). Como a base decresce, 0<x<4.
Dois argumentos variáveis
log₂(x−1)≥log₂(7−x): domínio 1<x<7; comparação x−1≥7−x ⇒ x≥4; resposta [4,7).
Produto com domínio
log₂(x)+log₂(x−2)≥3 exige x>2. Como x(x−2)≥8 ⇒ (x−4)(x+2)≥0, a solução é x≥4.
Logaritmo negativo
log₃(x)<0 exige x>0. Como 0=log₃(1), segue 0<x<1.
Deslocamento no argumento
log₂(2x−4)<1 exige x>2. A comparação 2x−4<2 gera x<3; portanto 2<x<3.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Logarítmicas
Por que não posso incluir os pontos que zeram o argumento?
O logaritmo de zero não é um número real. Mesmo quando a desigualdade inclui a igualdade, a fronteira com argumento nulo fica excluída.
O que acontece se a base estiver entre zero e um?
O logaritmo passa a ser decrescente. Comparar dois logaritmos de mesma base menor que um inverte o sentido entre os argumentos.
Como comparar um logaritmo com um número?
Reescreva a constante c como logₐ(aᶜ), sempre com base a>0 e a≠1, e então use a monotonicidade.
É necessário impor o domínio de cada logaritmo?
Sim. Se aparecem dois logaritmos, todos os argumentos precisam ser positivos simultaneamente; as condições formam uma interseção.
Por que o resultado algébrico não basta?
Uma transformação pode gerar candidatos fora do domínio. A solução real é a interseção entre o conjunto obtido e todas as restrições iniciais.
A regra de logaritmo da soma existe?
Não existe identidade que transforme logₐ(U+V) em logₐ(U)+logₐ(V). Somente produtos, quocientes e potências admitem propriedades apropriadas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.3 Logarithmic Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.5 Logarithmic Properties — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.6 Exponential and Logarithmic Equations — OpenStax — College Algebra 2e