Inequações Exponenciais: Bases e Intervalos
Aprenda a resolver inequações exponenciais com bases maiores ou menores que um, substituições e análise de sinais, justificando cada intervalo de solução.
O que você vai aprender
- Resolver desigualdades com potências de uma mesma base
- Determinar quando o sentido da inequação deve ser invertido
- Resolver inequações exponenciais por substituição e conferir o conjunto-solução
Entenda o assunto
Aprenda a resolver inequações exponenciais com bases maiores ou menores que um, substituições e análise de sinais, justificando cada intervalo de solução.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que torna uma inequação exponencial
Uma inequação exponencial possui a incógnita no expoente, como 2ˣ>8. O objetivo não é achar um único valor, mas todos os números reais que tornam a comparação verdadeira.
Em 2ˣ>8, como 8=2³ e a função 2ˣ cresce, x precisa ser maior que 3. Escrevemos x>3 ou (3,+∞), com extremo aberto porque a desigualdade é estrita.
Bases válidas e domínio dos expoentes
Na comparação a^f(x) com a^g(x) nos reais, a base constante deve satisfazer a>0 e a≠1 para ter monotonicidade estrita. Os expoentes f(x) e g(x) devem estar definidos.
A função 2ˣ aceita todo expoente real, mas 2^(1/(x−2)) não está definida em x=2. A restrição do expoente faz parte do domínio e não pode desaparecer ao simplificar a inequação.
Quando a base é maior que um
Se a>1, a função exponencial é estritamente crescente. Portanto, a^u>a^v equivale a u>v; o mesmo sentido vale para os símbolos menor que, maior ou igual e menor ou igual.
Por exemplo, 3^(2x−1)≥3⁵ se reduz a 2x−1≥5, daí x≥3. A igualdade faz parte do resultado e a resposta é [3,+∞), diferente do intervalo aberto.
Quando a base está entre zero e um
Se 0<a<1, a função exponencial é estritamente decrescente. Isso inverte a ordem dos expoentes: (1/2)^u>(1/2)^v é equivalente a u<v.
Na inequação (1/2)ˣ≥(1/2)³, a solução é x≤3. Uma checagem com x=2 confirma: 1/4≥1/8. Manter o mesmo sentido produziria uma resposta incorreta.
Redução à mesma base
Reescrever os dois lados como potências da mesma base simplifica a comparação. Por exemplo, 4ˣ<8 equivale a 2^(2x)<2³, pois 4=2² e 8=2³.
Como a base 2 é maior que um, obtemos 2x<3 e x<3/2. Antes de comparar expoentes, certifique-se de que a base comum escolhida é positiva e diferente de um.
Comparação com um e com zero
Para toda base positiva a, aˣ é sempre positivo. Assim, aˣ>0 é verdadeira para todo expoente real definido, enquanto aˣ≤0 não possui solução real no domínio.
Como a⁰=1, a inequação 5^(x−4)>1 torna-se x−4>0, isto é, x>4. Já (1/3)^(x−4)>1 exige x−4<0, pois a base está abaixo de um.
Substituição por uma variável positiva
Uma expressão como 4ˣ−5·2ˣ+4≤0 fica mais simples ao definir t=2ˣ. Então t>0 e 4ˣ=t², de modo que a inequação vira (t−1)(t−4)≤0.
O produto é não positivo entre as raízes: 1≤t≤4. Substituindo t=2ˣ, chegamos a 0≤x≤2. A condição t>0 é indispensável ao voltar de t para x.
Desigualdades com termos em ambos os lados
Em 2^(x+1)>2^(2x−3), a base 2 permite comparar diretamente os expoentes. A inequação equivalente é x+1>2x−3, portanto x<4.
Uma conferência com x=3 dá 2⁴=16 e 2³=8: a comparação é verdadeira. Com x=5, teríamos 64>128, que é falso. Esse teste ajuda a detectar inversões indevidas.
Intervalos e pontos de fronteira
Desigualdades estritas usam extremos abertos quando a igualdade ocorre exatamente na fronteira. As não estritas usam extremos fechados, desde que o ponto pertença ao domínio.
Por exemplo, 2ˣ≤16 gera x≤4, incluindo 4, mas 2ˣ<16 gera x<4. Se houver restrição adicional de domínio, o conjunto-solução é a interseção dos dois conjuntos.
Aplicações e conferência final
Modelos exponenciais de crescimento e decaimento aparecem em populações, investimentos e outras grandezas. Uma inequação identifica quando um patamar é ultrapassado ou não atingido.
Confira a base, o domínio, a inclusão dos limites e ao menos um valor de teste. Para problemas contextualizados, acrescente restrições como tempo não negativo e interprete o resultado na unidade pedida.
Passo a passo
- 01
Identifique as bases e anote eventuais restrições de domínio dos expoentes.
- 02
Reescreva as potências na mesma base, quando possível, e examine se ela é crescente ou decrescente.
- 03
Resolva a desigualdade dos expoentes ou faça uma substituição positiva para reduzir o problema.
- 04
Retorne à variável original, marque os limites e teste valores representativos.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Base maior que um
2ˣ>32 ⇒ 2ˣ>2⁵ ⇒ x>5. A solução é (5,+∞), pois a função 2ˣ é crescente.
Base entre zero e um
(1/3)^(2x−1)≤(1/3)³ ⇒ 2x−1≥3 ⇒ x≥2. O sinal se inverte quando os expoentes são comparados.
Bases diferentes
9ˣ≥27 ⇒ 3^(2x)≥3³ ⇒ x≥3/2. A base 3 é maior que um e não inverte o sentido.
Comparação com um
5^(x−2)<1=5⁰ ⇒ x−2<0 ⇒ x<2. A passagem é válida porque a base 5 é maior que um.
Substituição
4ˣ−5·2ˣ+4≤0. Com t=2ˣ>0, (t−1)(t−4)≤0 ⇒ 1≤t≤4 ⇒ 0≤x≤2.
Expoentes algébricos
2^(3x−2)>2^(x+4) ⇒ 3x−2>x+4 ⇒ 2x>6 ⇒ x>3.
Decaimento no tempo
100·(1/2)^t≤25 para t≥0 ⇒ (1/2)^t≤(1/2)² ⇒ t≥2. O tempo mínimo que atinge o patamar é 2 períodos.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Exponenciais
Por que o sinal se inverte com base menor que um?
Porque a função aˣ é decrescente quando 0<a<1: aumentar o expoente diminui o valor da potência. A regra decorre da monotonicidade.
Uma inequação exponencial pode não ter solução?
Sim. Toda potência aˣ com base real positiva é maior que zero, portanto aˣ≤0 não tem solução real no domínio da expressão.
Quando posso comparar diretamente os expoentes?
Quando os lados forem potências com a mesma base positiva diferente de um e ambas as expressões estiverem definidas.
O que muda em ≥ comparado a >?
A desigualdade não estrita inclui os pontos em que os lados são iguais, desde que esses valores pertençam ao domínio original.
Por que t=2ˣ precisa ser positivo?
Porque 2ˣ nunca é zero ou negativo. Ao resolver uma inequação polinomial em t, devemos descartar resultados incompatíveis com t>0.
Qual é um método de checagem rápida?
Substitua um valor interno e um externo ao intervalo obtido; além disso, confira o sinal da base e se os extremos são abertos ou fechados.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.1 Exponential Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.6 Exponential and Logarithmic Equations — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.3 Logarithmic Functions — OpenStax — College Algebra 2e