Equações Logarítmicas: Domínio, Regras e Soluções
Aprenda a resolver equações logarítmicas com condições de existência, propriedades dos logaritmos e conferência de raízes, usando exemplos e exercícios.
O que você vai aprender
- Definir as condições de existência antes de manipular logaritmos
- Usar equivalência exponencial, igualdade de logs e propriedades válidas
- Descartar raízes que não pertencem ao domínio da equação original
Entenda o assunto
Aprenda a resolver equações logarítmicas com condições de existência, propriedades dos logaritmos e conferência de raízes, usando exemplos e exercícios.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
Reconhecendo uma equação logarítmica
Uma equação logarítmica contém uma expressão com logaritmo que depende da incógnita, como log₂(x−1)=3. O objetivo é encontrar os valores reais de x para os quais todos os logaritmos envolvidos existem e a igualdade vale.
Em geral, o caminho é converter um logaritmo em potência, comparar argumentos de logaritmos de mesma base ou condensar expressões pela propriedade do produto. Cada etapa depende das restrições de domínio.
A condição de existência vem primeiro
Antes de resolver, imponha que cada argumento logarítmico seja estritamente positivo. Em log₃(x)+log₃(x−2)=1, são necessárias simultaneamente x>0 e x−2>0, o que resulta em x>2.
Essa condição não pode ser ignorada depois de transformar a equação em um polinômio. Uma raiz algébrica que viole o domínio não é solução da equação logarítmica inicial.
Conversão para a forma exponencial
A equivalência logₐ(U)=k ⇔ U=aᵏ é válida para a>0, a≠1 e U>0. Esse método é o mais direto quando há apenas um logaritmo igualado a um número real.
Por exemplo, log₂(x−1)=3 exige x−1>0. Converter para a forma exponencial dá x−1=2³=8, então x=9, que satisfaz a condição x>1.
Comparando logaritmos de mesma base
Como logₐ é injetiva, logₐ(U)=logₐ(V) equivale a U=V, desde que U>0 e V>0. Não é correto igualar argumentos de bases diferentes sem uma transformação que justifique isso.
Na igualdade log₅(2x+1)=log₅(7), temos 2x+1=7 e x=3. A condição do primeiro logaritmo é x>−1/2, portanto a resposta encontrada permanece válida.
Propriedade do produto com domínio
Se U>0 e V>0, vale logₐ(U)+logₐ(V)=logₐ(UV). Assim, duas parcelas de mesma base podem se tornar um único logaritmo e facilitar a resolução.
Em log₃(x)+log₃(x−2)=1, o produto é x(x−2) e a igualdade vira x²−2x=3. A quadrática dá x=3 ou x=−1, mas a restrição x>2 permite apenas x=3.
Propriedade do quociente
Quando U>0 e V>0, temos logₐ(U)−logₐ(V)=logₐ(U/V). A condição V>0 não é uma consequência automática de U/V>0; ela deve ser registrada a partir da expressão original.
Por exemplo, log₂(x+1)−log₂(x−1)=1 exige x>1. Convertendo o quociente em potência, (x+1)/(x−1)=2, daí x+1=2x−2 e x=3.
Cuidado com a propriedade da potência
É comum usar logₐ(U²)=2·logₐ(U), mas a igualdade só faz sentido com U>0 na expressão da direita. A expressão original logₐ(U²) pode existir também quando U<0.
Em log₂(x²)=4, a condição é x≠0. A conversão x²=16 produz x=4 ou x=−4, ambas válidas. Usar 2log₂(x) sem restrição excluiria incorretamente a solução negativa.
Bases menores do que um
A conversão logₐ(U)=k ⇔ U=aᵏ também vale para 0<a<1. A particularidade da base pequena aparece em desigualdades e nos gráficos decrescentes, não na equivalência básica de equações.
Por exemplo, log₁/₂(x)=−2 resulta em x=(1/2)⁻²=4. A verificação é simples: (1/2) elevado a −2 produz 4, um argumento positivo.
Conferindo soluções estranhas
Ao condensar logaritmos e resolver equações algébricas, podem surgir candidatos que violem as condições dos argumentos iniciais. Nesses casos, dizemos que as raízes são inválidas para a equação de partida.
No exemplo x(x−2)=3, o candidato x=−1 torna log₃(x) indefinido nos reais. A etapa de conferir domínio não é opcional nem substituída pela conferência da igualdade polinomial.
Estratégia geral e falhas frequentes
Primeiro anote todas as desigualdades para os argumentos. Em seguida, escolha uma transformação legítima: forma exponencial, igualdade de logaritmos ou regras do produto e do quociente. Resolva e teste no problema inicial.
Evite separar logₐ(U+V) em uma soma de logaritmos e jamais elimine logaritmos apenas porque as bases se parecem. A coerência da base, a positividade dos argumentos e a checagem final garantem uma solução confiável.
Passo a passo
- 01
Registre todas as condições argumento>0 da equação original.
- 02
Transforme para forma exponencial ou condense logs de mesma base quando permitido.
- 03
Resolva a equação obtida e mantenha apenas raízes no domínio inicial.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Um logaritmo igual a número
log₂(x−1)=3 ⇒ x−1=8 ⇒ x=9. A condição x>1 é atendida, então a resposta é válida.
Logaritmos de mesma base
log₅(2x+1)=log₅(7) ⇒ 2x+1=7 ⇒ x=3; conferir 2x+1=7>0.
Soma e domínio
log₃(x)+log₃(x−2)=1 impõe x>2. Pelo produto, x(x−2)=3 ⇒ x=3 ou −1. Só 3 pertence ao domínio.
Diferença de logaritmos
log₂(x+1)−log₂(x−1)=1, com x>1. A fração (x+1)/(x−1)=2 leva a x=3, que é permitido.
Um quadrado dentro do argumento
log₂(x²)=4 ⇒ x²=16 ⇒ x=±4. Os dois candidatos satisfazem x²>0 e são soluções.
Base entre zero e um
log₁/₂(x)=−2 ⇒ x=(1/2)⁻²=4, que é positivo e satisfaz a equação.
Soma de dois fatores positivos
log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 impõe x>1. Então x²−1=8, isto é x²=9, e apenas x=3 passa na condição.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Equações Logarítmicas
Por que preciso conferir as raízes?
Uma transformação algébrica pode produzir valores que tornam algum argumento nulo ou negativo, inválidos nos logaritmos reais.
Posso somar logaritmos com bases diferentes?
As propriedades usuais de produto e quociente exigem a mesma base válida. Bases diferentes precisam ser convertidas corretamente antes.
É válido resolver logₐ(U)=logₐ(V) comparando U e V?
Sim, desde que a base seja a mesma, positiva e diferente de 1, e que ambos os argumentos sejam positivos.
A equação log₂(x²)=4 tem duas raízes?
Sim. Como o argumento é x², tanto x=4 quanto x=−4 produzem 16 e satisfazem a condição de existência.
O logaritmo de um número negativo pode ser real?
Não no contexto real usado aqui. Um argumento negativo ou nulo torna o logaritmo indefinido, mesmo após simplificações algébricas.
Como identificar um erro ao condensar logaritmos?
Revise as condições de positividade de cada argumento original, pois o sinal do produto sozinho não garante a validade das parcelas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.3 Logarithmic Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.5 Logarithmic Properties — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.6 Exponential and Logarithmic Equations — OpenStax — College Algebra 2e