Função Logarítmica: Domínio, Gráfico e Propriedades
Entenda a função logarítmica, suas bases, domínio, imagem, assíntota vertical e relação inversa com a exponencial por meio de exemplos e gráficos.
O que você vai aprender
- Determinar domínio e imagem de funções logarítmicas reais
- Analisar a monotonicidade e a assíntota vertical para cada base
- Relacionar gráficos logarítmicos e exponenciais por meio de funções inversas
Entenda o assunto
Entenda a função logarítmica, suas bases, domínio, imagem, assíntota vertical e relação inversa com a exponencial por meio de exemplos e gráficos.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
A definição de função logarítmica
Uma função logarítmica associa a cada número positivo x um expoente: f(x)=logₐ(x) é o número y para o qual aʸ=x. A base a deve ser positiva e diferente de 1, de modo que a potência aʸ seja invertível nos reais.
Por exemplo, log₂(8)=3, porque 2³=8. Não se deve confundir a base 2, o argumento 8 e o valor 3. Interpretar logaritmo como expoente ajuda a entender cada ponto representado no gráfico.
Condições para a base e o argumento
No conjunto dos números reais, a base a precisa satisfazer a>0 e a≠1. O argumento precisa ser estritamente positivo; log₂(0) e log₂(−4) não são números reais e não entram no gráfico.
Essas condições têm motivos diferentes: a base determina uma exponencial estritamente monótona e invertível; o argumento precisa estar na imagem positiva da exponencial. Verifique ambas as restrições antes de aplicar propriedades.
Domínio e imagem da função
Na função básica f(x)=log₂(x), o domínio é (0,+∞), porque apenas números positivos podem ser usados como argumento. Já a imagem é ℝ: um logaritmo pode resultar em qualquer número real, inclusive negativos e zero.
Os pontos (1,0), (2,1), (4,2) e (1/2,−1) mostram essa amplitude. O gráfico se estende infinitamente para baixo perto de x=0 e sobe sem um máximo quando x cresce para valores muito grandes.
Pontos de referência no gráfico
Toda função f(x)=logₐ(x), com a>0 e a≠1, passa pelo ponto (1,0), pois a⁰=1. Ela também passa pelo ponto (a,1), porque a¹=a, e por (1/a,−1), pois a⁻¹=1/a.
Esses três pontos fornecem um esboço inicial sem calculadora. Para a base 2, marque (1/2,−1), (1,0) e (2,1). Depois indique que o gráfico não toca o eixo vertical, aproximando-se dele indefinidamente.
Crescimento e decrescimento pela base
Se a>1, f(x)=logₐ(x) é crescente: ao aumentar o argumento, o valor do logaritmo aumenta. É o caso de log₂(x), cujo gráfico vai de baixo à esquerda para cima à direita no semiplano x>0.
Se 0<a<1, ocorre o contrário: a função é decrescente. Por exemplo, log₁/₂(1)=0 e log₁/₂(2)=−1. Trocar a base pode mudar o sentido das desigualdades envolvendo logaritmos.
Assíntota vertical e comportamento
O eixo vertical x=0 é uma assíntota de f(x)=logₐ(x). O gráfico pode chegar arbitrariamente perto desse eixo pelo lado positivo, mas nunca atinge nem atravessa x=0, porque a função não existe ali.
Para a>1, quando x se aproxima de zero por valores positivos, logₐ(x) tende a −∞. Para 0<a<1, tende a +∞. A assíntota é uma propriedade do comportamento, não um valor permitido do domínio.
Logaritmo e exponencial são inversas
A função f(x)=log₂(x) é inversa de g(x)=2ˣ. Uma desfaz a operação da outra: log₂(2ˣ)=x, para todo real x, e 2^(log₂(x))=x, desde que x>0.
Graficamente, os pontos se trocam: (3,8) em y=2ˣ corresponde a (8,3) em y=log₂(x). A reflexão acontece em torno da reta y=x, respeitando os domínios de cada função.
Deslocamentos horizontais e verticais
Na função h(x)=log₂(x−3)+1, substituímos x por x−3: o gráfico básico se desloca três unidades à direita. Em seguida, somar 1 desloca todos os pontos uma unidade para cima.
O domínio passa a ser x>3 e a assíntota vertical se move para x=3. Já a imagem continua ℝ. É essencial determinar a restrição pelo argumento completo, não apenas reconhecer uma base válida.
Propriedades básicas e leitura do resultado
As propriedades logₐ(xy)=logₐ(x)+logₐ(y) e logₐ(x/y)=logₐ(x)−logₐ(y) exigem x>0 e y>0. A identidade logₐ(xʳ)=r·logₐ(x) requer atenção especial aos domínios quando r é inteiro ou real.
Por exemplo, log₂(8·4)=log₂(8)+log₂(4)=3+2=5. Em contrapartida, não existe regra que transforme logₐ(x+y) em soma de logaritmos: tal separação produziria resultados incorretos.
Aplicações e erros frequentes
Escalas logarítmicas são úteis quando uma grandeza varia por fatores multiplicativos, e não por diferenças fixas. Uma subida de uma unidade em log₁₀(x) significa multiplicar o argumento por 10.
Entre os erros mais frequentes estão admitir x=0 no domínio, tratar logₐ(x+y) como soma e confundir uma base entre zero e um com crescimento. O desenho e a forma exponencial funcionam como verificações independentes.
Passo a passo
- 01
Confira se a base é positiva e diferente de 1; imponha argumento positivo.
- 02
Use a equivalência logₐ(x)=y ⇔ aʸ=x para encontrar pontos.
- 03
Identifique assíntota, crescimento ou decrescimento e deslocamentos.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Reconhecendo o expoente
log₂(32)=5 porque 2⁵=32. A base é 2, o argumento é 32 e o resultado é o expoente 5.
Calculando um logaritmo negativo
log₃(1/9)=−2 porque 3⁻²=1/9. A saída é negativa, mas o argumento continua positivo e, portanto, válido.
Desenhando a curva básica
Para f(x)=log₂(x), marque (1/2,−1), (1,0), (2,1) e (4,2). A curva é crescente em x>0 e tem a reta x=0 como assíntota vertical.
Avaliando um deslocamento
h(x)=log₂(x−3)+1 aceita apenas x>3. h(5)=log₂(2)+1=2, e a assíntota vertical é x=3.
Comparando bases
log₁/₂(4)=−2, pois (1/2)⁻²=4. Para a base menor que 1, a função é decrescente: valores maiores de x geram saídas menores.
Invertendo a exponencial
Se 2ˣ=16, então x=log₂(16)=4. O par (4,16) da exponencial passa a (16,4) na logarítmica inversa.
Interpretando multiplicação de dez
log₁₀(100)=2 e log₁₀(1000)=3. Quando o argumento é multiplicado por dez, o valor cresce exatamente uma unidade.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Função Logarítmica
O logaritmo de zero existe nos reais?
Não. O argumento de logₐ(x) deve ser estritamente positivo; zero marca a assíntota da função básica.
Um logaritmo pode ser negativo?
Sim. Por exemplo, log₂(1/2)=−1. O argumento é positivo, embora seja menor que 1.
O que acontece quando a base está entre zero e um?
A função é decrescente. Seu domínio segue x>0, sua imagem é ℝ e o eixo vertical continua sendo a assíntota básica.
Como achar a assíntota após um deslocamento?
Em logₐ(x−c)+d, a assíntota vertical fica em x=c, onde o argumento se aproxima de zero pelo lado permitido.
Qual é a diferença entre domínio e imagem?
Domínio são as entradas possíveis, positivas na função básica; imagem são os expoentes obtidos, que podem ser quaisquer reais.
Por que exponenciais e logaritmos são inversos?
Porque um calcula potências e o outro recupera o expoente a partir do resultado, com a mesma base válida.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 6.1 Exponential Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.3 Logarithmic Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 6.5 Logarithmic Properties — OpenStax — College Algebra 2e