Função Raiz Quadrada: Domínio, Imagem e Gráfico
Estude a função raiz quadrada, radicandos não negativos, translações, imagem e equações com radicais. Inclui exemplos e exercícios explicados.
O que você vai aprender
- Calcular domínio e imagem de funções com raiz quadrada real
- Interpretar gráfico e transformações de √x
- Resolver equações com radicais conferindo soluções estranhas
Entenda o assunto
Estude a função raiz quadrada, radicandos não negativos, translações, imagem e equações com radicais. Inclui exemplos e exercícios explicados.
Para aprender com segurança, identifique o conjunto de entradas permitidas antes de calcular ou esboçar o gráfico. Cada exemplo mostra a escolha da regra, os cálculos e a conferência do resultado.
O que significa função raiz quadrada?
A função básica f(x)=√x associa a cada número real não negativo sua raiz quadrada principal, isto é, o resultado não negativo cujo quadrado recupera a entrada. Por exemplo, √9=3 e √0=0.
Essa escolha torna f uma função, pois cada entrada tem uma única saída. Os números 3 e −3 elevam-se ao quadrado para produzir 9, mas o símbolo √9, isoladamente, representa somente 3, e não ±3.
Como determinar o domínio de uma raiz?
No conjunto dos reais, o radicando de uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. Para f(x)=√(x−1)+2, a condição x−1≥0 fornece x≥1, incluindo a entrada 1 porque √0=0.
Se a expressão é √(7−2x), resolvemos 7−2x≥0 e encontramos x≤3,5. Ao dividir uma desigualdade por um número negativo, é necessário inverter o sentido do sinal para não excluir entradas válidas.
Por que a imagem começa em determinado valor?
Como √(x−1)≥0 para x≥1, somar 2 desloca todas as saídas para cima: √(x−1)+2≥2. O valor mínimo 2 é atingido na entrada 1, quando a raiz vale zero.
Assim a imagem de f(x)=√(x−1)+2 é [2,+∞). Se houvesse uma reflexão vertical, como −√(x−1)+4, as saídas seriam menores ou iguais a 4, e o ponto inicial indicaria o máximo em vez do mínimo.
Como desenhar o gráfico de √x?
O gráfico básico y=√x começa em (0,0), passa por (1,1), (4,2) e (9,3) e cresce sem limite, embora cada incremento da saída exija entradas cada vez maiores. Não existe ramo real com x negativo.
Para representar uma função deslocada, procure entradas que tornem o radicando um quadrado perfeito. Em f(x)=√(x−1)+2, os valores x=1, 2, 5 e 10 fornecem saídas 2, 3, 4 e 5, facilitando o esboço.
Translações horizontais e verticais
Na expressão f(x)=√(x−h)+k, o parâmetro h desloca o gráfico horizontalmente e k desloca-o verticalmente. O ponto inicial passa de (0,0) para (h,k), desde que estejamos usando a raiz principal sem reflexão.
Em √(x−1)+2, todo o desenho move-se uma unidade para a direita e duas para cima. O domínio acompanha o deslocamento horizontal, tornando-se x≥1, e a imagem acompanha a elevação vertical, tornando-se y≥2.
Reflexões, sinais e escalas no gráfico
Multiplicar a raiz por um número negativo reflete o desenho no eixo horizontal, levando saídas não negativas para não positivas antes da translação. Por exemplo, −√(x−1)+4 atinge o máximo 4 quando x=1.
Um coeficiente positivo maior que 1 aumenta verticalmente os valores, sem alterar o ponto inicial quando o termo constante é zero. Já sinais dentro do radicando modificam o domínio e podem refletir horizontalmente a curva.
Como resolver equações com raiz quadrada?
Para resolver √(x−1)=3, primeiro confira a condição x≥1. Eleve os dois lados ao quadrado: x−1=9, logo x=10. A substituição na igualdade original confirma √9=3.
Antes de elevar ao quadrado, isole a raiz e observe que o outro lado deve ser não negativo quando se trata da raiz principal. Quadrar ambos os lados pode introduzir candidatos que satisfazem a equação transformada mas não a inicial.
Como identificar soluções estranhas?
Considere √(x+5)=x−1. Como a raiz é não negativa, exigimos x≥1. Ao elevar ao quadrado, obtemos x+5=(x−1)², equivalente a x²−3x−4=0, com candidatos −1 e 4.
O candidato x=−1 falha porque o segundo membro seria −2 enquanto o primeiro é √4=2. Já x=4 produz √9=3 no primeiro lado e 3 no segundo. A única solução real é x=4.
Ligação entre raiz quadrada e função inversa
A função y=x² não é injetiva quando permite números negativos e positivos: tanto −2 quanto 2 produzem 4. Porém, no domínio restrito x≥0, cada saída corresponde a uma única entrada.
A inversa de x² nesse domínio é √x, e a inversa de √x é x² restrita a entradas x≥0. Domínio e imagem se trocam, e os gráficos se refletem em torno da reta diagonal y=x.
Aplicações, radicais e interpretação
As raízes quadradas aparecem em problemas geométricos, como encontrar o lado de um quadrado a partir da área A: se A≥0, o lado é √A. Por exemplo, uma área de 49 unidades quadradas corresponde a lado 7.
Em todo problema, confira se a variável representa distância, área ou outra quantidade com restrições próprias. Não confunda √9 com ±3, não aceite radicando negativo nos reais e não esqueça de verificar as respostas obtidas ao elevar a equação ao quadrado.
Passo a passo
- 01
Exija que o radicando seja maior ou igual a zero e resolva a desigualdade.
- 02
Localize o ponto inicial do gráfico, faça uma tabela com quadrados perfeitos e determine a imagem.
- 03
Para equações, isole a raiz, eleve ao quadrado e confira cada candidata na equação original.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Domínio de uma função deslocada
f(x)=√(x−1)+2 exige x−1≥0. Logo x≥1; o menor ponto do gráfico é (1,2).
Pontos do desenho
Para x=1,2,5,10 em f(x)=√(x−1)+2, as saídas são 2,3,4,5, respectivamente. Esses pares traçam a curva crescente.
Domínio com coeficiente negativo
g(x)=√(7−2x) exige 7−2x≥0. Logo x≤7/2=3,5; ao dividir por −2, inverte-se a desigualdade.
Equação simples
√(x−1)=3 equivale a x−1=9, com x=10. O teste confirma √9=3.
Equação com solução estranha
√(x+5)=x−1 fornece candidatos −1 e 4 ao quadrar, mas −1 falha na equação original. A resposta válida é 4.
Reflexão vertical
h(x)=−√(x−1)+4 tem domínio [1,+∞) e imagem (−∞,4]; sua saída máxima é h(1)=4.
Inversa da raiz
Se f(x)=√x com x≥0, então y=√x implica x=y². Logo f⁻¹(x)=x² para x≥0, preservando a imagem original como domínio inverso.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Função Raiz Quadrada
Raiz quadrada de zero existe?
Sim. √0=0, portanto a condição do radicando é maior ou igual a zero, e não apenas maior que zero.
Por que √9 não é ±3?
Porque √9 indica por convenção a raiz principal, que é 3. A equação x²=9, por outro lado, admite duas soluções: −3 e 3.
Qual é o domínio de √(x+4)?
Como x+4≥0, o domínio real é [−4,+∞). O gráfico começa em (−4,0) e segue para a direita.
Como achar a imagem sem desenhar?
Use o fato de que a raiz principal é não negativa. Depois leve em conta multiplicações negativas e deslocamentos verticais.
Posso elevar ao quadrado os dois membros sempre?
É necessário isolar a raiz, observar as restrições de sinal e conferir as soluções finais na equação inicial, porque podem surgir candidatos estranhos.
A função √x é inversa de x² em todos os reais?
Não. A inversão funcional exige restringir x² a um ramo injetivo, como x≥0. Sem isso, diferentes entradas teriam a mesma saída.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 5.7 Inverses and Radical Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 1.3 Radicals and Rational Exponents — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e