Funções Definidas por Partes: Gráficos e Exemplos
Aprenda a interpretar funções definidas por partes, escolher a fórmula em cada intervalo e analisar pontos abertos, fechados e continuidade com exercícios.
O que você vai aprender
- Calcular valores selecionando a expressão do intervalo correto
- Desenhar e interpretar pontos de fronteira abertos e fechados
- Reconhecer domínio, imagem, continuidade e aplicações com tarifas
Entenda o assunto
Aprenda a interpretar funções definidas por partes, escolher a fórmula em cada intervalo e analisar pontos abertos, fechados e continuidade com exercícios.
Para aprender com segurança, identifique o conjunto de entradas permitidas antes de calcular ou esboçar o gráfico. Cada exemplo mostra a escolha da regra, os cálculos e a conferência do resultado.
O que é uma função definida por partes?
Uma função definida por partes combina duas ou mais expressões, cada uma válida em determinado conjunto de entradas. Apesar de ter várias regras, ela é uma única função: a cada entrada permitida deve corresponder exatamente uma saída.
Por exemplo, f(x)=x+2 para x<0 e f(x)=x² para x≥0. O primeiro ramo atua apenas nos negativos; o segundo vale no zero e nos positivos. A divisão do domínio decide qual cálculo pode ser feito.
Como escolher corretamente a regra?
Antes de substituir uma entrada, leia a desigualdade ao lado de cada fórmula. Para calcular f(−3) na definição anterior, −3<0 seleciona x+2 e produz −1. Para f(2), a condição x≥0 seleciona x² e produz 4.
Não calcule as duas expressões e escolha a resposta que parecer melhor. A escolha não depende da preferência, do valor obtido nem de qual gráfico parece mais simples, e sim exclusivamente da condição associada à entrada.
O que acontece na fronteira entre duas partes?
Quando as fórmulas mudam em x=0 ou em outro valor, verifique qual desigualdade inclui a igualdade. O símbolo ≤ ou ≥ inclui a fronteira; os símbolos < e > a excluem daquele trecho.
Na função f(x)=x+2 se x<0 e f(x)=x² se x≥0, a entrada 0 pertence apenas ao segundo ramo. Por isso f(0)=0; não vale 2, ainda que o primeiro gráfico se aproxime da altura 2. A diferença aparece em um círculo aberto.
Como desenhar pontos abertos e fechados?
Um círculo preenchido representa um par (x,y) efetivamente pertencente ao gráfico. Um círculo vazio indica que a curva se aproxima daquele ponto, mas a função não inclui a extremidade naquele ramo.
No exemplo escolhido, desenhamos a reta y=x+2 apenas para x<0 e deixamos um círculo aberto em (0,2). Em seguida desenhamos a parábola y=x² para x≥0, com círculo preenchido em (0,0).
Encontrando domínio e imagem
O domínio total é a união das entradas admitidas por cada ramo. Se uma fórmula vale para x<0 e outra para x≥0, essa união é todo o conjunto dos reais, desde que cada expressão esteja definida em seu intervalo.
A imagem exige analisar as saídas de cada parte. No gráfico com reta x+2 à esquerda de zero, surgem todas as saídas menores que 2; na parábola x² para x≥0, surgem todas as saídas maiores ou iguais a zero. A união é ℝ.
Continuidade e saltos no gráfico
Para que uma função seja contínua no ponto de passagem, os valores aproximados pelos dois lados devem coincidir com o valor da própria função naquele ponto. Caso contrário, pode haver um salto, um furo ou outra descontinuidade.
No exemplo f(x)=x+2 para x<0 e x² para x≥0, o limite pela esquerda em 0 é 2, mas pela direita é 0 e f(0)=0. Portanto há uma descontinuidade do tipo salto na fronteira.
Criando uma função a partir de uma situação
Considere uma cobrança de R$ 15 por até cinco unidades de consumo e mais R$ 4 por unidade excedente. Para 0≤u≤5, a tarifa fica T(u)=15; para u>5, a tarifa passa a ser T(u)=15+4(u−5).
Observe que os intervalos não se sobrepõem e cobrem as quantidades não negativas relevantes. A segunda fórmula parte do valor já pago pelas primeiras cinco unidades, evitando cobrar a tarifa inicial novamente.
Módulo também é uma função por partes
O valor absoluto |x| mede a distância entre x e zero. Se x é não negativo, a distância é x; caso x seja negativo, a distância é −x. Portanto a definição por partes é |x|=−x se x<0 e |x|=x se x≥0.
Essa representação ajuda a compreender o desenho em V e por que não aparece uma saída negativa. Ela também mostra que funções por partes podem ser contínuas, mesmo que sua expressão algébrica mude em um ponto.
Montando uma tabela confiável para cada trecho
Escolha pelo menos dois valores em cada intervalo e calcule usando a regra correspondente. Para a função f(x)=x+2 se x<0 e x² se x≥0, temos f(−2)=0, f(−1)=1, f(0)=0 e f(2)=4.
Uma tabela pequena não substitui a análise das extremidades: os círculos aberto e fechado são essenciais para determinar corretamente o valor no ponto de mudança. Se houver três ramos, repita esse processo para cada intervalo.
Erros comuns e aplicações no cotidiano
Planos de telefonia, tarifas por faixa, impostos progressivos, descontos condicionais e regras de frete podem ser expressos com funções por partes. Nem sempre a quantidade é real: pessoas e produtos podem exigir domínio inteiro.
Evite usar simultaneamente duas fórmulas no mesmo ponto sem verificar se devolvem a mesma saída. Também não presuma que toda mudança de regra gera salto: a função pode continuar contínua se as partes se encontrarem na mesma altura.
Passo a passo
- 01
Localize o intervalo que contém a entrada antes de substituir.
- 02
Calcule somente na regra ativa e registre pontos de fronteira incluídos ou excluídos.
- 03
Una os gráficos dos ramos nos respectivos intervalos e analise domínio, imagem e continuidade.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Valor em um número negativo
Para f(x)=x+2 se x<0 e x² se x≥0, f(−3)=−3+2=−1: aplicamos exclusivamente a fórmula dos negativos.
Valor no ponto de mudança
Na mesma função, f(0)=0²=0. A expressão x+2 não vale em 0 porque sua condição é estrita: x<0.
Dois pontos do gráfico
Pontos do ramo negativo: (−2,0) e (−1,1). No ramo não negativo: (0,0) e (2,4). Em x=0, marque (0,2) aberto e (0,0) preenchido.
Função contínua por partes
Para g(x)=2x se x<1 e x+1 se x≥1, as expressões se aproximam de 2 em ambos os lados de 1 e g(1)=2; a união é contínua.
Módulo como partes
Se |x|=−x para x<0 e |x|=x para x≥0, então |−5|=−(−5)=5 e |3|=3. Ambas saídas medem distâncias.
Tarifa progressiva
T(u)=15 para 0≤u≤5; T(u)=15+4(u−5) para u>5. Para 8 unidades, T(8)=15+4·3=27 reais.
Imagem da função exemplo
O ramo x+2 para x<0 produz valores em (−∞,2). O ramo x² para x≥0 produz [0,+∞). A união desses conjuntos é todo ℝ.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Funções Definidas por Partes
É permitido ter três ou mais partes?
Sim. Basta que cada expressão tenha um intervalo de validade claro e que nenhuma entrada receba saídas diferentes.
Como saber se a fronteira está incluída?
Os símbolos ≥ ou ≤ incluem o ponto; > ou < o excluem. No gráfico, desenhe círculo cheio quando incluído e vazio quando excluído.
Duas regras diferentes podem formar uma função contínua?
Podem. Se os valores de aproximação dos dois ramos coincidem com a saída da fronteira, não há salto nesse ponto.
Toda função modular é definida por partes?
Sim. A função módulo pode ser representada por duas fórmulas, uma para entradas negativas e outra para as não negativas.
E se nenhuma regra admitir certo valor de x?
Aquele valor não pertence ao domínio. Não é correto atribuir uma saída inventada apenas para completar a tabela.
Uma tarifa por partes pode ter entradas fracionárias?
Depende do fenômeno. Consumo medido em litros pode admitir frações; quantidade de pessoas e unidades inteiras precisa de restrições adicionais.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.1 Functions and Function Notation — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs — OpenStax — College Algebra 2e