Inequações do Segundo Grau: Parábola e Sinais
Aprenda a resolver inequações quadráticas por fatoração, estudo do discriminante e análise dos sinais da parábola, com intervalos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Relacionar as raízes de um polinômio quadrático aos intervalos de sinal
- Determinar conjuntos-solução usando concavidade e discriminante
- Representar soluções por intervalos, incluindo ou excluindo as fronteiras
Entenda o assunto
Aprenda a resolver inequações quadráticas por fatoração, estudo do discriminante e análise dos sinais da parábola, com intervalos e exercícios comentados.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que é uma inequação do segundo grau
Uma inequação quadrática compara um polinômio ax²+bx+c com zero, usando >, <, ≥ ou ≤, com a diferente de zero. Sua solução é um conjunto de números reais, não necessariamente um par de raízes.
Por exemplo, x²−4>0 significa procurar valores para os quais a parábola está acima do eixo horizontal. As raízes x=−2 e x=2 dividem a reta em intervalos cujos sinais devem ser examinados.
Levar todos os termos para um mesmo lado
O primeiro passo é escrever a inequação na forma ax²+bx+c>0 ou com outro sinal de comparação. Se houver expressões em ambos os lados, subtraia o mesmo valor de cada lado antes de fatorar.
Na comparação x²+2x≥3, obtemos x²+2x−3≥0, que fatoramos como (x+3)(x−1)≥0. Ao transpor o termo 3, não há inversão do sinal: essa inversão ocorre ao multiplicar ou dividir por número negativo.
Encontrar as raízes e os pontos críticos
As raízes reais de ax²+bx+c=0 são os pontos em que o gráfico toca ou cruza o eixo x. Elas podem ser encontradas por fatoração, completando quadrados ou pela fórmula de Bhaskara.
Em x²−5x+6=(x−2)(x−3), as raízes são 2 e 3. Esses valores separam a reta real em três regiões: x<2, 2<x<3 e x>3; se a inequação admitir igualdade, também examinamos as raízes.
Concavidade e sinal do polinômio
Quando a>0 e existem duas raízes reais distintas, a parábola tem concavidade voltada para cima: o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Se a<0, ocorre o padrão contrário.
Para f(x)=(x−1)(x−3), a concavidade é para cima: f(0)=3 é positivo e f(2)=−1 é negativo. Portanto f(x)>0 em x<1 ou x>3, com extremos abertos porque se exige estritamente positivo.
Discriminante positivo, zero ou negativo
O discriminante Δ=b²−4ac informa se a quadrática tem duas raízes distintas (Δ>0), uma raiz dupla (Δ=0) ou nenhuma raiz real (Δ<0). Esse dado muda o número de intervalos de sinal.
Em x²+1, Δ=−4, então a expressão permanece positiva para todos os reais, pois a=1>0. Em (x−2)², Δ=0, a expressão é não negativa e zera apenas em x=2: não se trata de duas raízes distintas.
Entender desigualdades estritas e não estritas
Os símbolos > e < excluem os pontos nos quais o polinômio vale zero. Já ≥ e ≤ podem incluí-los, pois aceitam a igualdade, desde que não exista outra restrição de domínio.
Assim, x²−4>0 fornece (−∞,−2)∪(2,+∞), enquanto x²−4≥0 fornece (−∞,−2]∪[2,+∞). O símbolo de união reúne intervalos separados que satisfazem a condição.
Resolver por tabela de sinais
Na forma fatorada, analise o sinal de cada fator em cada intervalo entre as raízes. O produto é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal e negativo quando possuem sinais opostos.
Para (x+2)(x−1)<0, entre −2 e 1 o primeiro fator é positivo e o segundo é negativo, gerando produto negativo. Fora desse intervalo, ambos são positivos ou ambos negativos e o produto é positivo.
Casos sem raízes e casos com raiz dupla
Quando Δ<0, a parábola não corta o eixo x e o sinal coincide com o coeficiente a em todos os reais. Com Δ=0, o sinal coincide com a em todos os pontos exceto na raiz dupla, onde vale zero.
Por isso, x²+4<0 tem solução vazia, enquanto x²+4>0 vale para todos os reais. Já (x+1)²>0 vale para todo x exceto x=−1, pois um quadrado pode ser zero, mas nunca negativo.
Transformar uma inequação com coeficiente negativo
Multiplicar todos os termos de uma inequação por −1 pode facilitar o estudo da parábola, mas exige inverter o sentido da comparação. Sem essa inversão, o conjunto-solução obtido estará incorreto.
Em −x²−2x+3≥0, multiplicamos por −1 e obtemos x²+2x−3≤0. Fatorando (x+3)(x−1)≤0, concluímos que −3≤x≤1, incluindo as duas raízes.
Conferência por valores de teste e gráfico
Após obter os intervalos, escolha um valor dentro e outro fora do conjunto-solução e substitua na inequação inicial. Essa conferência detecta erros de sinal, inclusão de raízes e inversões indevidas.
Para x²−4>0, x=3 funciona pois 9−4>0, mas x=0 não funciona pois −4 não é maior que zero. Ao final, escreva a solução em desigualdades ou intervalos, respeitando os limites.
Passo a passo
- 01
Escreva o polinômio quadrático comparado com zero, identificando a, b e c.
- 02
Encontre as raízes reais e classifique o discriminante; use a fatoração sempre que for simples.
- 03
Estude o sinal da parábola e selecione os intervalos coerentes com a desigualdade.
- 04
Inclua ou exclua as raízes segundo o símbolo e teste valores na expressão original.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Parábola com duas raízes
(x−1)(x−3)>0. As raízes são 1 e 3; o produto é positivo fora delas: x<1 ou x>3.
Parábola negativa entre as raízes
x²−4<0 equivale a (x−2)(x+2)<0. O conjunto-solução é −2<x<2, sem incluir ±2.
Inequação não estrita
x²−5x+6≤0 vira (x−2)(x−3)≤0. Como a concavidade é para cima, 2≤x≤3.
Coeficiente a negativo
−x²−2x+3≥0 equivale a x²+2x−3≤0; assim (x+3)(x−1)≤0 e −3≤x≤1.
Discriminante negativo
x²+1<0 não tem solução real: x²≥0 e, por isso, x²+1≥1 em todo o domínio.
Raiz dupla
(x−2)²≤0 só acontece quando o quadrado vale zero; logo a solução única é x=2.
Produto e extremos
x(x−5)≥0 tem raízes 0 e 5 e produto não negativo fora do intervalo: x≤0 ou x≥5.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações do Segundo Grau
Posso resolver apenas olhando o sinal de a?
O sinal de a dá a concavidade, mas para localizar os intervalos é necessário encontrar as raízes ou constatar que elas não existem nos reais.
Como saber se incluo as raízes?
Inclua raízes quando a desigualdade for ≥ ou ≤. Para > ou <, as raízes não são permitidas porque produzem igualdade.
E se o discriminante for negativo?
A função não possui raízes reais; toda a parábola mantém o sinal do coeficiente a. Isso pode gerar todos os reais ou conjunto vazio.
Uma raiz dupla muda o sinal do polinômio?
Não. Na raiz dupla, o polinômio toca o eixo horizontal e mantém o sinal nos dois lados, anulando-se somente naquele ponto.
Posso usar a fórmula de Bhaskara?
Sim. A fórmula permite encontrar as raízes quando existem; depois é preciso estudar o sinal da expressão, e não apenas listar as raízes.
Qual erro mais comum nessas inequações?
Escolher o intervalo entre raízes sem observar a concavidade ou não inverter o sinal ao multiplicar a inequação inteira por um número negativo.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 5.1 Quadratic Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.6 Absolute Value Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e