Inequações Modulares: Distâncias e Intervalos
Descubra como resolver inequações com valor absoluto, interpretar distâncias na reta real e transformar módulos em intervalos, com exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Interpretar |x−a| como distância em relação ao número a
- Resolver desigualdades modulares dos tipos |A|<k e |A|>k
- Distinguir interseções de intervalos e uniões de semirretas
Entenda o assunto
Descubra como resolver inequações com valor absoluto, interpretar distâncias na reta real e transformar módulos em intervalos, com exemplos e exercícios comentados.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
Significado geométrico do módulo
O valor absoluto |u| mede a distância entre u e zero na reta real. Assim, |x−a| representa a distância entre x e o ponto a, e nunca pode assumir valores negativos.
A inequação |x−2|≤3 pergunta quais valores estão a até três unidades do número 2. A resposta −1≤x≤5 forma um intervalo fechado, pois os pontos extremos possuem distância exatamente três.
Módulo de uma expressão e definição por partes
Para qualquer expressão real A, |A|=A quando A≥0 e |A|=−A quando A<0. Em ambos os casos, o resultado é não negativo e mantém a relação com a distância.
Por exemplo, |x+1| vale x+1 quando x≥−1 e vale −x−1 quando x<−1. Essa definição por partes permite resolver casos mais complexos quando uma transformação direta não é suficiente.
Menor que um número positivo vira intervalo
Para k>0, a condição |A|<k equivale ao sistema simultâneo −k<A<k. A palavra simultâneo é importante: A deve atender às duas desigualdades ao mesmo tempo.
Em |2x−4|<6, escreva −6<2x−4<6. Somando quatro e dividindo por dois, vem −1<x<5. Os limites não entram, porque a condição original é estrita.
Menor ou igual inclui as fronteiras
Com k≥0, |A|≤k equivale a −k≤A≤k. Para k>0, a resposta costuma ser um intervalo fechado; quando k=0, exige-se A=0.
Assim, |x−2|≤3 equivale a −3≤x−2≤3 e dá −1≤x≤5. Em |x−2|≤0, o único valor possível é x=2, porque a distância não pode ser menor que zero.
Maior que um número positivo vira união
Quando k>0, |A|>k significa A<−k ou A>k. As duas possibilidades ficam em lados opostos da reta e devem ser ligadas por ou, isto é, união de conjuntos.
Em |x+1|>2, obtemos x+1<−2 ou x+1>2. A solução é x<−3 ou x>1, sem os limites, que estão a uma distância exatamente igual a dois do centro −1.
Maior ou igual inclui as semirretas
Para k>0, |A|≥k corresponde a A≤−k ou A≥k, incluindo valores que estejam exatamente na distância indicada. A união separa as duas regiões externas.
Em |x+2|≥3, as condições são x+2≤−3 ou x+2≥3. Daí resulta x≤−5 ou x≥1, incluindo os dois extremos porque a desigualdade permite igualdade.
Caso de referência zero
Como o valor absoluto nunca é negativo, |A|≥0 vale para todo A real definido e |A|<0 não possui solução. Já |A|>0 vale sempre que A é diferente de zero.
Para |x−4|>0, a solução é todo real exceto x=4. Para |x−1|≤0, a igualdade só acontece em x=1. Esses casos devem ser tratados antes de aplicar regras feitas para k positivo.
Comparações com limite negativo
Se k<0, então |A|≤k ou |A|<k é impossível no conjunto real, pois |A|≥0. Em contrapartida, |A|>k e |A|≥k são verdadeiras para todo A real definido.
Por exemplo, |x+1|≤−2 não admite nenhum valor real, enquanto |x+1|>−2 vale para todos os reais. Aplicar −k<A<k sem verificar k>0 produz conclusões erradas.
Coeficientes negativos dentro do módulo
A propriedade |−A|=|A| permite simplificar o sinal geral de uma expressão antes de resolver a inequação. Isso não significa que todas as desigualdades externas possam ser invertidas.
Por exemplo, |−2x+4|=|2x−4|. Portanto |−2x+4|<6 tem a mesma solução −1<x<5, sem qualquer inversão do sinal externo, porque os módulos são idênticos.
Comprovação por pontos de teste
Depois de resolver uma desigualdade modular, confira o centro e os extremos na inequação original. Compare também um valor na região externa para assegurar a escolha correta entre e e ou.
Em |x+1|>2, x=−4 funciona porque |−3|=3>2, mas x=0 não funciona porque |1|=1. Os valores x=−3 e x=1 produzem igualdade e devem ficar de fora.
Passo a passo
- 01
Interprete |A(x)| como valor absoluto e identifique o limite k da comparação.
- 02
Verifique se k é positivo, nulo ou negativo antes de escolher uma regra.
- 03
Se k>0, use uma dupla desigualdade para < ou ≤, ou duas regiões externas para > ou ≥.
- 04
Resolva as condições, represente os extremos e confirme com valores de teste.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Intervalo em torno do centro
|x−2|≤3 ⇒ −3≤x−2≤3 ⇒ −1≤x≤5. O limite igual é incluído nos dois lados.
Regiões externas
|x+1|>2 ⇒ x+1<−2 ou x+1>2 ⇒ x<−3 ou x>1.
Coeficiente dentro do módulo
|2x−4|<6 ⇒ −6<2x−4<6 ⇒ −1<x<5.
Distância mínima
|x+2|≥3 ⇒ x+2≤−3 ou x+2≥3 ⇒ x≤−5 ou x≥1.
Módulo menor que zero
|x|<0 não possui solução real, pois o módulo é sempre não negativo.
Módulo estritamente positivo
|x−4|>0 vale para todo número real diferente de quatro, único ponto onde a distância é zero.
Constante negativa
|3x+1|≤−1 não admite solução real. Nenhum valor absoluto consegue ser negativo.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Modulares
Qual é a diferença entre |x|<a e |x|>a?
Para a>0, menor que descreve um intervalo central e usa a conjunção e; maior que descreve duas regiões externas e usa a união ou.
O que muda quando o limite vale zero?
|A|≤0 exige A=0, |A|>0 exige A≠0, |A|≥0 é sempre verdade e |A|<0 não tem solução real.
Posso multiplicar a inequação por −1?
Sim, desde que inverta a comparação externa; entretanto, dentro do módulo vale |−A|=|A|, uma igualdade que dispensa inversão externa.
Por que a resposta às vezes tem dois intervalos?
Quando a distância precisa ser maior que uma quantidade positiva, o ponto pode ficar à esquerda ou à direita da região central proibida.
Como identifico pontos fechados?
Um ponto de fronteira entra quando a desigualdade é ≤ ou ≥ e o módulo naquele ponto vale exatamente o limite solicitado.
O que acontece se o limite for negativo?
Módulos nunca são negativos: as condições < ou ≤ um número negativo são impossíveis, enquanto > ou ≥ esse limite são sempre verdadeiras no domínio.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 3.6 Absolute Value Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e
- 5.1 Quadratic Functions — OpenStax — College Algebra 2e