Inequações Irracionais: Radicais e Domínio
Aprenda a resolver inequações com raízes quadradas, impondo restrições ao radicando e avaliando quando é válido elevar ambos os lados ao quadrado.
O que você vai aprender
- Identificar os valores reais permitidos por radicandos de raízes pares
- Resolver comparações entre raízes e constantes respeitando os sinais
- Verificar equivalências ao elevar expressões ao quadrado e testar as soluções
Entenda o assunto
Aprenda a resolver inequações com raízes quadradas, impondo restrições ao radicando e avaliando quando é válido elevar ambos os lados ao quadrado.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que é uma inequação irracional
Uma inequação irracional pode apresentar a incógnita sob um radical de índice par, por exemplo √(x−1)<3. Resolver significa encontrar os números reais que tornam o radicando permitido e a comparação verdadeira.
A primeira pergunta não é quando a raiz fica pequena ou grande, mas para quais valores ela existe nos reais. Em √(x−1), precisamos de x−1≥0; portanto todo candidato deve satisfazer x≥1.
Domínio de raízes de índice par
Em números reais, a raiz quadrada principal √A só existe quando A≥0 e tem valor não negativo. Uma raiz de índice ímpar, como a cúbica, admite radicandos negativos; as regras de domínio são diferentes.
Em √(2x+1)≤5, o domínio impõe 2x+1≥0, isto é, x≥−1/2. Nenhuma solução algébrica fora desse intervalo pode ser mantida, mesmo que uma transformação pareça aceitá-la.
A raiz principal nunca é negativa
Como √A≥0 quando A≥0, uma desigualdade √A<0 é impossível nos reais. Já √A≥−2 é verdadeira para todos os x do domínio, independentemente da forma de A.
Por exemplo, √(x+1)<0 não tem solução; por outro lado, √(x+1)≥−2 vale para todo x≥−1. Essas observações evitam elevar ao quadrado em comparações desnecessárias.
Comparação com uma constante positiva
Se c≥0 e A≥0, as duas expressões √A e c são não negativas. Assim, √A≤c equivale a A≤c², junto da condição A≥0; com < e c>0, a comparação também é equivalente.
Na inequação √(x−1)<3, precisamos de x≥1 e x−1<9. A interseção dá 1≤x<10, com o ponto 1 incluído porque a raiz vale zero, e 10 excluído pela desigualdade estrita.
Quando elevar ao quadrado preserva a ordem
Para números não negativos u e v, u<v é equivalente a u²<v². Entretanto, para números de sinais diferentes essa regra pode falhar; elevar diretamente dois lados desconhecidos pode criar soluções falsas.
Por exemplo, de √(x+2)≥x não devemos deduzir apenas x+2≥x². Se x<0, a comparação já é verdadeira no domínio e a operação de quadrar o lado negativo não caracteriza todos os casos.
Comparação de duas raízes quadradas
Se ambos os radicandos A e B são não negativos, √A≤√B equivale a A≤B, pois a função raiz quadrada principal é crescente em seu domínio.
Por exemplo, √(x+4)≤√(2x+1) exige x≥−4 e x≥−1/2. Comparando radicandos, x+4≤2x+1 resulta em x≥3, já compatível com o domínio.
O significado de extremos abertos e fechados
Uma extremidade imposta apenas pelo domínio do radicando pode entrar, porque √0 é definida. A outra extremidade pode ficar de fora quando a desigualdade analisada é estrita.
Assim, √(x+4)≤2 produz −4≤x≤0, com ambos os extremos incluídos. Já √(x−1)>3 produz x>10: em x=10 a raiz vale três e não satisfaz o símbolo >.
Comparação com expressão que muda de sinal
Em √A≥B(x), diferencie quando B(x)≤0, caso em que a desigualdade é automaticamente verdadeira no domínio, e quando B(x)>0, caso em que é possível elevar ambos os lados ao quadrado.
Em √(x+2)≥x, temos x≥−2. Para −2≤x≤0 a comparação vale porque a raiz é não negativa; para x>0, x+2≥x² leva a x≤2. O conjunto final é [−2,2].
Comparação que só admite lado direito positivo
Quando temos √A≤B(x), é necessário B(x)≥0, porque uma raiz principal não negativa não pode ser menor ou igual a um número negativo. Só depois dessa condição vale a comparação dos quadrados.
Em √(x−2)≤x−2, o domínio impõe x≥2 e o lado direito já é não negativo. Colocando t=x−2≥0, temos √t≤t, que vale em t=0 ou t≥1. Logo x=2 ou x≥3.
Conferir o conjunto-solução original
Um roteiro seguro envolve domínio, sinais dos dois lados, transformações válidas e teste de fronteiras. Em desigualdades com radical, respostas obtidas apenas por uma equação ao quadrado podem conter números indevidos.
Para √(x+2)≥x, x=−2 funciona porque 0≥−2, x=2 funciona porque 2≥2, e x=3 falha porque √5 é menor que 3. Essa checagem confirma o intervalo [−2,2].
Passo a passo
- 01
Determine o domínio real de todos os radicais e registre os limites necessários.
- 02
Identifique os sinais possíveis dos dois lados, separando casos se a expressão externa puder ser negativa.
- 03
Apenas em condições justificadas eleve ao quadrado ou compare radicandos.
- 04
Intercepte os resultados com o domínio e confira valores de teste na inequação original.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Raiz menor que constante
√(x−1)<3: domínio x≥1 e quadrado x−1<9; portanto 1≤x<10.
Raiz maior ou igual
√(x+2)≥4: como a raiz é não negativa, x+2≥16; solução x≥14.
Dois radicais
√(x+4)≤√(2x+1): radicandos não negativos e x+4≤2x+1; logo x≥3.
Raiz em comparação impossível
√(x+1)<0 não admite solução real, mesmo com x≥−1, pois nenhuma raiz principal é negativa.
Comparação com número negativo
√(x+1)≥−2 equivale só ao domínio x≥−1, pois a raiz principal é sempre não negativa.
Lado direito variável
√(x+2)≥x: no domínio −2≤x≤0 é automática; para x>0, quadrar leva a x≤2. Solução [−2,2].
Raiz menor que a expressão
√(x−2)≤x−2. Com t=x−2≥0, √t≤t ocorre em t=0 ou t≥1: x=2 ou x≥3.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Inequações Irracionais
Por que devo verificar o radicando primeiro?
Para uma raiz quadrada real, o radicando precisa ser não negativo. Ignorar essa condição permite respostas nas quais a expressão original nem existe.
Posso sempre elevar ao quadrado?
Somente quando a equivalência for justificada. Se os lados tiverem sinais desconhecidos, quadrar diretamente pode acrescentar ou eliminar soluções.
Por que √A não pode ser negativo?
Por definição, a raiz quadrada principal real é o número não negativo cujo quadrado é A. Ela só está definida para A≥0.
Como tratar √A≥B quando B é negativo?
A desigualdade já é verdadeira no domínio se B≤0. Para B>0, é possível comparar os quadrados e depois reunir os casos.
O que acontece com a igualdade no limite do domínio?
Se o radicando for zero, a raiz principal vale zero e o ponto pode ser solução. A inclusão depende da comparação completa, não apenas da existência da raiz.
Como sei se as raízes introduziram soluções falsas?
Substitua os limites e exemplos de cada intervalo na inequação original, checando primeiro se todos os radicandos são não negativos.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 1.3 Radicals and Rational Exponents — OpenStax — College Algebra 2e
- 5.7 Inverses and Radical Functions — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e