Sistemas de Inequações: Interseção de Intervalos
Aprenda a resolver sistemas de inequações em uma variável, representar intervalos na reta real e determinar a interseção de condições simultâneas.
O que você vai aprender
- Resolver cada inequação do sistema com atenção ao sentido da comparação
- Encontrar a interseção entre intervalos e identificar sistemas impossíveis
- Interpretar fronteiras abertas e fechadas em restrições simultâneas
Entenda o assunto
Aprenda a resolver sistemas de inequações em uma variável, representar intervalos na reta real e determinar a interseção de condições simultâneas.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que caracteriza um sistema de inequações
Um sistema de inequações reúne condições que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo por um mesmo número real. A palavra sistema não indica escolher uma resposta entre várias: todas precisam valer simultaneamente.
Por exemplo, x≥−1 e x<3 define números que não são menores que −1 nem chegam a 3. A solução é a interseção [−1,3), e não a união dos conjuntos individuais.
Resolver antes de combinar
É mais seguro resolver cada inequação isoladamente, transformando-a em uma condição simples sobre x. Só depois as regiões obtidas devem ser combinadas na reta real.
No sistema 2x+1≥−1 e 3x−2<7, a primeira condição fornece x≥−1 e a segunda x<3. A interseção dos dois conjuntos é [−1,3).
Interseção significa a palavra e
A operação de interseção, representada por ∩, mantém apenas os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos envolvidos. Na reta, a parte comum das faixas coloridas é a resposta.
Em A=[0,5] e B=(2,8), temos A∩B=(2,5]. O número 2 não entra porque B o exclui; o número 5 entra porque está incluído em ambos os conjuntos.
União não é a solução de um sistema com e
A união de intervalos, indicada por ∪, reúne valores que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Ela aparece quando o enunciado permite uma condição ou outra, e não quando exige ambas.
Se x≤−2 ou x≥4, o resultado é (−∞,−2]∪[4,+∞). Se essas condições forem ligadas por e, não existe número real que satisfaça ambas, portanto a interseção é vazia.
Extremos abertos e fechados
Os símbolos ≤ e ≥ incluem o limite numérico; os símbolos < e > excluem esse ponto. Entretanto, um extremo só entra na solução do sistema se atender a todas as inequações.
No sistema x≥2 e x>2, a interseção é x>2, pois a segunda condição exclui x=2. Já com x≥2 e x≤5, ambos os extremos são permitidos e o intervalo é [2,5].
Sistemas sem solução
Um sistema é impossível quando seus conjuntos-solução não têm pontos em comum. Isso pode ocorrer mesmo que cada inequação isolada seja perfeitamente válida e possua muitos resultados.
Por exemplo, x<1 e x≥1 não tem solução real. A primeira condição exclui 1 e tudo o que está acima, enquanto a segunda exige 1 ou números maiores: não há sobreposição.
Interseção reduzida a um ponto
Quando uma inequação exige x≥a e outra x≤a, a única possibilidade comum é x=a. O resultado de um sistema pode ser um único número, não apenas um intervalo extenso.
No sistema x≥4 e x≤4, a solução é {4}. Se um dos símbolos fosse estrito, o ponto 4 deixaria de ser permitido e a interseção seria vazia.
Quando se multiplica por um número negativo
Em cada inequação, multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo exige inverter o sentido da comparação. Essa regra é independente de como os conjuntos serão intersectados depois.
Na condição −2x<6, a divisão por −2 fornece x>−3. Se o sistema também exige x≤1, a solução é (−3,1]; não é correto concluir x<−3.
Sistemas com três ou mais condições
A interseção pode ser feita progressivamente, adicionando uma condição de cada vez. Cada etapa mantém apenas os pontos que já satisfazem as restrições anteriores e a nova restrição.
Em x≥−2, x<5 e x≥1, a primeira faixa é [−2,+∞), depois [−2,5), e por fim [1,5). A ordem de comparação não altera o conjunto final.
Conferência e interpretação em problemas
Escolha valores nas fronteiras e no interior do intervalo final, substituindo-os em todas as condições do enunciado. Isso detecta confusões entre interseção e união e erros de inclusão dos extremos.
Para x≥−1 e x<3, x=−1 satisfaz as duas condições, x=3 falha na segunda e x=1 satisfaz ambas. A representação correta é [−1,3), com ponto fechado em −1 e aberto em 3.
Passo a passo
- 01
Resolva cada desigualdade isoladamente e observe se houve inversão de sentido.
- 02
Represente cada conjunto-solução na mesma reta real, com limites abertos ou fechados.
- 03
Mantenha somente a região comum a todas as restrições simultâneas.
- 04
Substitua os extremos e um ponto interno nas desigualdades originais.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Duas condições simultâneas
2x+1≥−1 dá x≥−1; 3x−2<7 dá x<3. A interseção é −1≤x<3.
Dois limites não estritos
x≥2 e x≤5 resultam no intervalo fechado [2,5]. Ambos os pontos extremos atendem ao sistema.
Interseção impossível
x<1 e x≥1 não têm valor real em comum. A interseção é o conjunto vazio.
Solução com um elemento
x≥4 e x≤4 permite somente x=4, pois esse ponto satisfaz as duas condições.
Três restrições
x≥−2, x<5 e x≥1: mantenha o maior limite inferior e o limite superior estrito, obtendo 1≤x<5.
Sinal invertido
−2x<6 significa x>−3; junto de x≤1, o resultado é −3<x≤1.
Regiões externas e restrição adicional
x≤−2 ou x≥4, junto da condição x≥0, fornece apenas x≥4; a região negativa desaparece.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Sistemas de Inequações
O que é a interseção de intervalos?
É o conjunto dos números que aparecem em todos os intervalos ao mesmo tempo, como ocorre com a palavra e em um sistema.
Quando uso a união em vez da interseção?
Use união quando o problema permite uma alternativa ou outra. Um sistema de condições simultâneas exige interseção.
Um sistema pode ter só uma solução?
Sim. As condições x≥a e x≤a selecionam apenas o número a, formando um conjunto com um único elemento.
Como represento o conjunto vazio?
O símbolo ∅ indica que nenhuma solução real satisfaz todas as condições impostas simultaneamente.
Qual fronteira devo escolher se houver dois limites inferiores?
Na interseção, prevalece o limite inferior mais restritivo, normalmente o maior número entre eles.
Por que preciso testar as fronteiras?
O teste mostra se a igualdade é permitida em todas as inequações e ajuda a decidir entre parênteses e colchetes.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities — OpenStax — College Algebra 2e
- 1.3 Radicals and Rational Exponents — OpenStax — College Algebra 2e
- 5.7 Inverses and Radical Functions — OpenStax — College Algebra 2e