Equações Biquadradas: Substituição x² = t
Entenda equações do quarto grau com potências pares, substitua x² por uma variável auxiliar e identifique todas as raízes reais válidas.
O que você vai aprender
- Reconhecer equações da forma ax⁴+bx²+c=0, com a diferente de zero
- Aplicar a substituição t=x² e resolver a quadrática resultante
- Voltar a x respeitando t≥0 e evitando raízes reais inexistentes
Entenda o assunto
Entenda equações do quarto grau com potências pares, substitua x² por uma variável auxiliar e identifique todas as raízes reais válidas.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
Definição de equação biquadrada
Uma equação biquadrada é um caso especial de quarto grau escrito como ax⁴+bx²+c=0, com a≠0. Não aparece termo em x³ nem termo linear em x, o que permite reduzir a dificuldade do problema.
Por exemplo, x⁴−5x²+4=0 parece exigir uma técnica de quarto grau, mas basta perceber que x⁴=(x²)². Assim, a mesma estrutura de uma equação quadrática reaparece em uma nova variável.
Substituir t por x²
Faça t=x² para transformar ax⁴+bx²+c=0 em at²+bt+c=0. Resolva essa equação auxiliar por fatoração, fórmula quadrática ou produtos notáveis, como faria com qualquer equação do segundo grau.
No modelo x⁴−5x²+4=0, obtemos t²−5t+4=0, que se fatoriza em (t−1)(t−4)=0. Portanto, t=1 ou t=4, antes de retornar à variável original.
A restrição t maior ou igual a zero
Quando procuramos soluções reais, a substituição t=x² impõe t≥0. Uma raiz negativa da equação auxiliar não corresponde a nenhum número real x, pois o quadrado de um real não é negativo.
Na equação x⁴−4x²−5=0, surge t²−4t−5=(t−5)(t+1)=0. O valor t=5 produz x=±√5, enquanto t=−1 não gera solução real.
Cada t positivo oferece dois valores
Quando t>0, a equação x²=t tem duas soluções reais distintas: x=√t e x=−√t. É importante não registrar apenas a raiz positiva, pois a expressão original possui potências pares.
Em x⁴−16=0, temos t²−16=0 e t=4 ou t=−4. O único t não negativo é 4; desse modo x=2 e x=−2 são ambas soluções.
O caso especial t igual a zero
Quando a equação auxiliar tem a raiz t=0, a volta à variável original fornece exclusivamente x=0. Não se deve contar mais de uma solução distinta porque os sinais positivo e negativo coincidem no zero.
Para x⁴−9x²=0, a substituição leva a t(t−9)=0. O valor t=0 fornece x=0, e o valor t=9 fornece x=±3, totalizando três raízes reais distintas.
Usar a fórmula de Bhaskara em t
Se o trinômio auxiliar não fatorar facilmente, calcule Δ=b²−4ac e use t=(−b±√Δ)/(2a). Só depois examine quais resultados satisfazem t≥0 e tire as raízes quadradas de cada t permitido.
Esse procedimento mantém a ordem lógica: resolver primeiro a quadrática, filtrar raízes auxiliares negativas e, finalmente, retornar a x. Aplicar a fórmula diretamente a x⁴ como se fosse x² é um erro.
Sem raízes reais apesar da quadrática
Uma equação auxiliar pode ter raízes reais, mas todas negativas. Nesse cenário, a equação biquadrada original não possui soluções reais, mesmo que seja possível escrever soluções complexas.
Em x⁴+5x²+4=0, obtemos (t+1)(t+4)=0, com t=−1 ou t=−4. Como t=x² deve ser não negativo, o conjunto-solução real é vazio.
Raízes repetidas e multiplicidades
Quando a quadrática auxiliar tem raiz dupla, ela pode gerar dois valores opostos de x ou apenas zero. É útil separar multiplicidade algébrica de quantidade de raízes reais distintas.
Em x⁴−2x²+1=(x²−1)²=0, temos t=1 repetido. As soluções reais distintas continuam sendo x=−1 e x=1, embora cada uma apareça com multiplicidade dois.
Conferência na equação original
Depois de retornar de t para x, substitua os resultados na expressão original. Como só há potências pares, raízes opostas válidas costumam aparecer aos pares e fornecer a mesma soma algébrica.
Em x⁴−5x²+4, tanto x=2 como x=−2 geram 16−20+4=0, e x=±1 geram 1−5+4=0. A verificação confirma quatro raízes reais distintas.
Reconhecimento rápido e aplicação gráfica
Uma equação biquadrada define os zeros de uma função polinomial par, como f(x)=x⁴−5x²+4. Seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, e as interseções com o eixo x aparecem em pares opostos, quando não são zero.
O gráfico de f(x)=x⁴−5x²+4 cruza o eixo horizontal em −2, −1, 1 e 2. Esses pontos coincidem com as soluções por substituição e ajudam a conferir o número de raízes reais.
Passo a passo
- 01
Reconheça a forma ax⁴+bx²+c=0 e faça a substituição t=x².
- 02
Resolva at²+bt+c=0 por fatoração ou Bhaskara.
- 03
Rejeite t negativo se estiver trabalhando com raízes reais.
- 04
Para cada t positivo inclua ±√t; para t=0 inclua somente zero e confira.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Quatro raízes reais
x⁴−5x²+4=0: com t=x², (t−1)(t−4)=0. Logo t=1 ou 4, produzindo x=−2,−1,1,2.
Duas raízes reais
x⁴−16=0 dá t²−16=0. Só t=4 é permitido nos reais; daí x=−2 ou x=2.
Nenhuma raiz real
x⁴+5x²+4=0 torna-se (t+1)(t+4)=0. Ambas as raízes auxiliares são negativas, portanto não há x real.
Zero e um par de opostos
x⁴−9x²=0 dá t(t−9)=0; as soluções são x=0, x=−3 e x=3.
Raiz auxiliar repetida
x⁴−2x²+1=0 equivale a (t−1)²=0 e fornece x=−1 ou x=1, cada uma com multiplicidade dois.
Dois pares positivos
x⁴−13x²+36=0 dá (t−4)(t−9)=0, portanto x=−3,−2,2,3.
Descartando t negativo
x⁴−4x²−5=0 produz t=5 ou t=−1. Só t=5 serve em ℝ, logo x=±√5.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Equações Biquadradas
Qual a diferença entre equação biquadrada e equação geral de quarto grau?
A biquadrada só contém x⁴, x² e termo constante, permitindo a substituição direta t=x².
Por que devo eliminar t negativo?
Porque a substituição foi t=x²; todo quadrado de número real é maior ou igual a zero.
Quantas raízes reais uma biquadrada pode ter?
Ela pode ter zero, uma, duas, três ou quatro raízes reais distintas, dependendo dos valores de t permitidos.
t igual a zero fornece duas raízes?
Não. Tanto a raiz positiva quanto a negativa de zero representam o mesmo valor, x=0.
Quando uso Bhaskara?
Use a fórmula quadrática na equação auxiliar em t, principalmente quando ela não se fatorar facilmente.
Por que as raízes não nulas vêm em pares opostos?
Porque trocar x por −x não altera x² nem x⁴; ambos satisfazem a mesma expressão de potências pares.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 2.6 Other Types of Equations — OpenStax — College Algebra 2e
- 2.5 Quadratic Equations — OpenStax — College Algebra 2e
- 1.5 Factoring Polynomials — OpenStax — College Algebra 2e