Sistemas Não Lineares: Substituição e Interseções
Aprenda a resolver sistemas de equações não lineares com retas, parábolas e circunferências, interpretando soluções como pontos de interseção.
O que você vai aprender
- Reconhecer quando um sistema com duas incógnitas não é linear
- Resolver sistemas por substituição e fatoração sem perder soluções
- Interpretar pares ordenados como interseções reais dos gráficos
Entenda o assunto
Aprenda a resolver sistemas de equações não lineares com retas, parábolas e circunferências, interpretando soluções como pontos de interseção.
Nesta aula, cada transformação algébrica é acompanhada das condições que a tornam válida. Compare os exemplos resolvidos com os exercícios e confira as soluções na expressão de partida.
O que é um sistema não linear
Um sistema de equações não lineares tem pelo menos uma equação que não representa uma reta, por exemplo y=x² ou x²+y²=25. Sua solução é um par ordenado que satisfaz todas as equações simultaneamente.
Enquanto duas retas distintas não coincidentes podem cruzar-se em um ponto, curvas e retas podem se encontrar em dois, um ou nenhum ponto real. Por isso o número de soluções precisa ser calculado, não presumido.
Solução como interseção de gráficos
Cada equação descreve um conjunto de pontos do plano cartesiano. Resolver o sistema significa encontrar os pontos pertencentes a todos esses conjuntos, o que visualmente corresponde às interseções de seus gráficos.
No sistema y=x² e y=4, a parábola e a reta horizontal cruzam-se em (−2,4) e (2,4). Ambos os pares atendem a y=x² e também a y=4.
Método da substituição
Se uma equação já isola y ou x, substitua essa expressão na outra equação, criando uma igualdade com uma incógnita. Depois de determinar seus valores, calcule a segunda coordenada de cada solução.
Em y=x² e y=x+2, igualamos x²=x+2 e chegamos a x²−x−2=0, que se fatoriza em (x−2)(x+1)=0. Os pontos são (2,4) e (−1,1).
Resolver a equação resultante
A eliminação de uma incógnita pode produzir uma equação quadrática, uma expressão fatorável ou outra condição algébrica. Use os métodos apropriados e preserve todos os valores que atendam às equações originais.
No sistema y=x² e y=2x, obtemos x²=2x, isto é, x(x−2)=0. Assim x=0 ou x=2, correspondendo aos pontos (0,0) e (2,4).
Reta e circunferência
Uma circunferência de centro na origem e raio r é representada por x²+y²=r². Ao combinar essa expressão com uma reta, a substituição costuma produzir até dois pontos de interseção reais.
Em x²+y²=25 e y=3, temos x²+9=25, ou x²=16. Isso produz os pontos (−4,3) e (4,3), que estão na circunferência de raio 5.
Tangência e solução única
Quando uma reta toca uma curva sem atravessá-la, o sistema pode ter uma solução real de multiplicidade algébrica maior que um. Geometricamente, os dois gráficos se encontram em um único ponto.
No sistema y=x² e y=0, a igualdade x²=0 fornece apenas x=0. O ponto (0,0) é o vértice da parábola e também pertence à reta horizontal, caracterizando tangência.
Sistemas sem interseção real
Nem todo sistema admite soluções reais. Uma reta pode ficar totalmente fora de uma circunferência, ou uma equação substituída pode exigir que um quadrado real seja negativo.
No sistema x²+y²=1 e y=2, a substituição dá x²+4=1, isto é, x²=−3. Não há número real com esse quadrado, de modo que o conjunto-solução é vazio.
Quando aparece produto xy
Sistemas com termos como xy não são lineares e podem ser tratados por substituição ou por soma e produto de raízes. No caso de duas variáveis com soma fixa, é útil identificar a equação quadrática correspondente.
Se xy=6 e x+y=5, então y=5−x; substituindo, x(5−x)=6. As raízes x=2 e x=3 geram os pares ordenados (2,3) e (3,2).
Soluções simétricas
Alguns sistemas mantêm a mesma forma quando os sinais de ambas as coordenadas são trocados. Essa simetria pode facilitar a interpretação, mas a validade de cada par deve ser conferida nas duas equações.
Em xy=4 e y=x, a igualdade x²=4 dá x=±2. Como y=x, os pontos são (2,2) e (−2,−2), ambos com produto de coordenadas igual a 4.
Conferir pares ordenados
Uma solução não é apenas um valor de x: é o par (x,y). Depois de encontrar as coordenadas, substitua-as em todas as equações, sem esquecer soluções negativas ou casos de tangência.
No sistema y=x² e y=x+2, (−1,1) funciona porque 1=(−1)² e 1=−1+2. O outro par, (2,4), satisfaz 4=2² e 4=2+2.
Passo a passo
- 01
Escolha a equação com variável isolada e substitua-a na outra expressão.
- 02
Resolva a equação resultante em uma incógnita, sem eliminar raízes possíveis.
- 03
Calcule a outra coordenada para cada valor encontrado.
- 04
Teste cada par ordenado nas duas equações originais e represente as interseções.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Parábola e reta horizontal
y=x² e y=4: x²=4 dá x=±2; portanto (−2,4) e (2,4).
Reta oblíqua e parábola
y=x² e y=x+2: (x−2)(x+1)=0; os pontos de encontro são (−1,1) e (2,4).
Circunferência e reta
x²+y²=25 com y=3 fornece x²=16, logo (−4,3) e (4,3).
Soma e produto
xy=6 e x+y=5 levam a x(5−x)=6, então os pares são (2,3) e (3,2).
Tangência
y=x² e y=0 têm somente (0,0), porque x²=0 possui única raiz real distinta.
Ausência de solução
x²+y²=1 e y=2 exigiriam x²=−3, impossível nos reais; não existe interseção.
Interseção com simetria
xy=4 e y=x produzem x²=4 e os pontos (2,2) e (−2,−2).
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Sistemas Não Lineares
Todo sistema não linear tem duas soluções?
Não. O número de pontos de interseção pode ser zero, um, dois ou até maior, dependendo das curvas envolvidas.
Posso usar substituição como nos sistemas lineares?
Sim. Quando uma variável está isolada, substituí-la na outra equação costuma reduzir o sistema a uma equação de uma incógnita.
O que significa o discriminante negativo após substituir?
Se a equação quadrática em uma incógnita tem discriminante negativo, esse sistema particular não apresenta interseções reais.
Como sei que existe tangência?
Em exemplos de reta e parábola, uma solução real dupla da equação de interseção pode indicar que a reta toca a parábola em um único ponto.
Devo dar x ou um par ordenado como resposta?
Para duas variáveis, a resposta completa é cada par (x,y), porque as duas coordenadas precisam satisfazer as duas equações.
Por que o gráfico é útil?
Ele permite visualizar possíveis pontos de interseção e conferir quantidades, posições e simetrias das soluções algébricas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.3 Systems of Nonlinear Equations and Inequalities: Two Variables — OpenStax — College Algebra 2e
- 2.5 Quadratic Equations — OpenStax — College Algebra 2e
- 3.2 Domain and Range — OpenStax — College Algebra 2e