Parábola: Foco, Diretriz, Vértice e Equação
Estude a definição da parábola, sua equação reduzida, foco, diretriz, vértice, orientação, dedução por distâncias e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Definir parábola como lugar geométrico equidistante de foco e diretriz
- Deduzir a equação cartesiana e localizar o parâmetro p
- Relacionar a forma focal a gráficos de funções quadráticas
Entenda o assunto
Entenda a parábola como conjunto de pontos equidistantes de foco e diretriz e aprenda suas equações.
O tema faz parte das seções cônicas da Geometria Analítica. A definição geométrica explica o formato da curva; as equações permitem localizar pontos, elementos e propriedades sem depender da aparência de um desenho.
O que é uma parábola? Foco e diretriz
Uma parábola é o conjunto dos pontos P que estão à mesma distância de um ponto fixo F, chamado foco, e de uma reta fixa d, chamada diretriz. O foco não pertence à diretriz.
A distância a uma reta significa o comprimento do segmento perpendicular do ponto até essa reta. A igualdade das duas distâncias, e não uma aparência de curva em U, define a parábola.
Vértice e eixo de simetria da parábola
O eixo de simetria é a reta perpendicular à diretriz que passa pelo foco. O vértice é o ponto da parábola situado no meio do segmento entre o foco e o pé da perpendicular sobre a diretriz.
Para a forma vertical (x−h)²=4p(y−k), o vértice é (h,k) e o eixo é x=h. A curva pode abrir para cima ou para baixo, dependendo do sinal de p.
Demonstração pela igualdade de distâncias
Considere vértice na origem V=(0,0), foco F=(0,p) e diretriz y=−p. Para um ponto P=(x,y), a distância ao foco é √[x²+(y−p)²], e a distância à diretriz é |y+p|.
Igualando os quadrados dessas distâncias e expandindo, obtemos x²+(y−p)²=(y+p)²; cancelando termos iguais: x²=4py. A identidade nasce diretamente da definição geométrica.
Equação reduzida com eixo vertical
Para o vértice V=(h,k), a forma reduzida vertical é (x−h)²=4p(y−k). O foco está em (h,k+p) e a diretriz é y=k−p.
Se p>0, a curva abre para cima; se p<0, abre para baixo. A medida |p| é a distância entre vértice e foco, diferente do coeficiente 4p que aparece na equação.
Equação reduzida com eixo horizontal
Se a parábola abre para direita ou esquerda, usamos (y−k)²=4p(x−h). O foco passa a ser (h+p,k), a diretriz é x=h−p e o eixo de simetria é y=k.
O sinal de p continua definindo o sentido da abertura: positivo para a direita, negativo para a esquerda. A orientação é identificada pela variável não elevada ao quadrado.
Parâmetro p e o lado reto
O parâmetro p é uma distância orientada: seu módulo é a distância do vértice ao foco e à diretriz, enquanto o sinal indica o sentido da abertura. Por exemplo, x²=4y tem p=1.
O lado reto é a corda da parábola que passa pelo foco e é paralela à diretriz. Seu comprimento é 4|p|, dado útil para desenhar e conferir a escala do gráfico.
Como a parábola se relaciona com a função quadrática?
Toda função quadrática real y=ax²+bx+c, com a≠0, tem como gráfico uma parábola de eixo vertical. Completando quadrados, ela pode ser escrita na forma y−k=a(x−h)², cujo vértice é (h,k).
Comparando com (x−h)²=4p(y−k), vemos 4p=1/a, isto é, p=1/(4a). Isso identifica o foco e a diretriz da curva do gráfico da função quadrática.
Como a translação modifica o gráfico
Ao substituir x por x−h e y por y−k, deslocamos a parábola para o vértice (h,k) sem alterar sua abertura nem sua forma. Em (x−2)²=8(y+1), o vértice é (2,−1) e p=2.
O foco é então (2,1), e a diretriz é y=−3. É preciso ler os sinais dentro dos parênteses corretamente; o termo y+1 indica k=−1.
Propriedade refletora e aplicações
Uma parábola possui propriedade geométrica refletora: sob o modelo ideal de reflexão, raios paralelos ao eixo são direcionados para o foco depois de refletirem na superfície parabólica.
Isso fundamenta projetos de antenas e refletores. Aplicações físicas usam superfícies tridimensionais paraboloidais e condições adicionais; um diagrama plano de parábola, sozinho, não descreve toda uma antena.
Erros frequentes em exercícios de parábola
Um erro comum é confundir p com 4p: na equação x²=8y, temos p=2, e não p=8. Outro é trocar a variável quadrática com a variável do eixo, obtendo a abertura errada.
Também é frequente confundir a forma focal de uma cônica com o resultado da fórmula de Bhaskara para raízes de uma função quadrática. O estudo do foco e da diretriz investiga propriedades geométricas adicionais.
Passo a passo
- 01
Identifique na equação qual variável aparece ao quadrado e determine o eixo.
- 02
Escreva na forma (x−h)²=4p(y−k) ou (y−k)²=4p(x−h).
- 03
Calcule p dividindo o coeficiente por 4 e obtenha vértice, foco e diretriz.
- 04
Verifique a equidistância de um ponto da curva ao foco e à diretriz.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Parábola com foco em (0,1)
A parábola de foco F=(0,1) e diretriz y=−1 tem vértice V=(0,0) e p=1. Sua equação é x²=4y.
Identificando foco e diretriz
Em x²=8y, 4p=8 implica p=2. Vértice (0,0), foco (0,2), diretriz y=−2 e abertura para cima.
Abertura para baixo
Para x²=−12y, temos p=−3; a parábola abre para baixo, foco (0,−3) e diretriz y=3.
Parábola horizontal
Na equação y²=12x, p=3; o foco está em (3,0), a diretriz é x=−3 e a curva abre para a direita.
Vértice deslocado
Em (x−2)²=8(y+1), h=2, k=−1, p=2. Foco (2,1), diretriz y=−3 e eixo de simetria x=2.
Da função à forma focal
A função y=x²/4 pode ser escrita x²=4y. Logo p=1, o foco é (0,1) e a diretriz y=−1.
Teste de um ponto da curva
O ponto (2,1) pertence à parábola x²=4y, pois 2²=4·1. Sua distância ao foco (0,1) é 2 e à diretriz y=−1 também é 2.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Parábola
Qual é a definição geométrica de parábola?
É o conjunto dos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.
Qual é a diferença entre foco e vértice?
O foco é um ponto fixo usado para definir a curva; o vértice é o ponto da parábola situado no eixo de simetria entre foco e diretriz.
O que significa o número p na equação da parábola?
Seu módulo é a distância do vértice até o foco e até a diretriz; seu sinal determina o sentido da abertura.
Como saber se uma parábola é horizontal?
Na forma focal não girada, a variável y está ao quadrado, e a equação pode ser escrita (y−k)²=4p(x−h).
Toda função quadrática forma uma parábola?
Sim, o gráfico de y=ax²+bx+c com a diferente de zero é uma parábola de eixo vertical.
Para que serve o foco de uma parábola?
É central para sua definição geométrica e para a propriedade refletora utilizada no modelo ideal de refletores e antenas parabólicas.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.3 The Parabola — OpenStax — Precalculus 2e
- 10.4 Rotation of Axes — OpenStax — Precalculus 2e