Elipse: Definição, Focos, Equação e Exercícios Resolvidos
Aprenda a definição geométrica da elipse, seus eixos, vértices e focos, as equações horizontal e vertical e como resolver exercícios com explicações.
O que você vai aprender
- Interpretar a soma constante das distâncias aos focos
- Distinguir semieixos e distância focal
- Escrever e interpretar a equação de elipses não giradas
Entenda o assunto
Entenda a elipse como lugar geométrico, identifique os focos e deduza sua equação reduzida.
O tema faz parte das seções cônicas da Geometria Analítica. A definição geométrica explica o formato da curva; as equações permitem localizar pontos, elementos e propriedades sem depender da aparência de um desenho.
O que é uma elipse? A definição por dois focos
Uma elipse é o conjunto dos pontos P do plano para os quais a soma das distâncias até dois pontos fixos, F₁ e F₂, permanece constante. Os dois pontos fixos recebem o nome de focos.
Em uma elipse não degenerada, essa soma é 2a e supera a distância 2c entre os focos. Diferentemente de um círculo, em geral os pontos da elipse não estão à mesma distância do centro.
Por que o barbante desenha uma elipse?
Ao prender as extremidades de um barbante em dois focos e manter o barbante esticado com a ponta do lápis, o comprimento total dos dois trechos permanece constante.
O lápis percorre a curva cujos pontos obedecem à soma de distâncias. Essa construção concretiza a definição geométrica e permite entender por que os focos são essenciais.
Centro, eixos e vértices: como identificar
O centro é o ponto médio entre os focos e também o encontro dos eixos de simetria. O eixo maior possui comprimento 2a; o eixo menor é perpendicular a ele e mede 2b.
Nas elipses com eixos paralelos aos eixos cartesianos, os vértices principais ficam nos extremos do eixo maior. Os extremos do eixo menor são chamados covértices.
Demonstração da relação entre os semieixos e os focos
Considere a elipse horizontal centrada na origem: o foco F=(c,0), e o covértice B=(0,b). Pela simetria, a distância de B a cada foco é a, pois a soma das duas distâncias vale 2a.
O triângulo formado pelas projeções de B e F é retângulo, com catetos b e c e hipotenusa a. Pelo Teorema de Pitágoras, a²=b²+c², logo c²=a²−b².
Equação reduzida da elipse horizontal
Quando o centro é (0,0) e o eixo maior está sobre o eixo x, a elipse tem a forma x²/a²+y²/b²=1, em que a>b>0. Os vértices são (±a,0) e os focos são (±c,0).
A equação pode ser deduzida isolando as raízes da condição de soma das distâncias aos focos. Ao quadrar com cuidado e simplificar, surge a forma reduzida, válida para todos os pontos da curva.
Equação reduzida da elipse vertical
Se a elipse está centrada na origem e o eixo maior é vertical, o maior denominador fica sob y². Assim, a forma é x²/b²+y²/a²=1, onde a>b>0.
Os vértices são (0,±a) e os focos (0,±c); já os covértices são (±b,0). Não é a letra a que determina o eixo: é a posição do maior denominador.
Elipse fora da origem: translação do centro
Quando o centro é C=(h,k), trocamos x por (x−h) e y por (y−k). Para o eixo maior horizontal, a equação fica (x−h)²/a²+(y−k)²/b²=1.
Os focos e os vértices também se deslocam por (h,k). O raio não é uma medida característica da elipse: usamos semieixos a e b, além da distância focal c.
Excentricidade e comparação com o círculo
A excentricidade mede quanto a elipse se afasta de uma circunferência: e=c/a, com 0≤e<1. Se c=0, os focos coincidem, a=b e a curva é uma circunferência.
À medida que c se aproxima de a, mantendo a fixo, o semieixo b diminui e a elipse fica mais alongada. Excentricidade não é sinônimo de comprimento do eixo maior.
Área da região elíptica e perímetro
A área da região limitada pela elipse é πab. Ela pode ser justificada pela transformação de escala que leva um círculo unitário a uma elipse de semieixos a e b: as áreas são multiplicadas por a·b.
A área não é a mesma coisa que o comprimento do contorno. Ao contrário do círculo, o perímetro geral da elipse não possui fórmula elementar simples como 2πr.
Aplicações e erros frequentes com elipses
Modelos de trajetórias orbitais podem assumir a forma elíptica em determinadas condições físicas, e objetos elípticos também aparecem em projetos de acústica e geometria aplicada. Cada aplicação pressupõe um modelo e seus limites.
Os erros mais comuns são usar c²=a²+b² (relação da hipérbole), atribuir o maior denominador ao eixo errado, confundir eixo e semieixo ou esquecer a translação do centro. Sempre confira c<a.
Passo a passo
- 01
Identifique se a equação está na forma reduzida e determine o centro.
- 02
Compare os denominadores positivos; o maior indica a direção do eixo maior.
- 03
Calcule a, b e c a partir de c²=a²−b², com a>b>0.
- 04
Marque centro, vértices e focos; confira os resultados na equação.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Elipse horizontal 25 e 9
Na equação x²/25+y²/9=1, a²=25 e b²=9; a=5, b=3 e c=√(25−9)=4. Focos: (−4,0) e (4,0). Vértices: (−5,0) e (5,0).
Elipse vertical 16 e 36
Em x²/16+y²/36=1, o eixo maior é vertical: a=6, b=4, c=√20=2√5. Os vértices são (0,±6).
Centro deslocado
Para (x−2)²/25+(y+1)²/9=1, o centro é (2,−1), a=5, b=3, c=4. Os focos são (−2,−1) e (6,−1).
Encontrando a equação pelos semieixos
Com centro na origem, eixo maior horizontal de comprimento 10 e menor de 6, temos a=5 e b=3: x²/25+y²/9=1.
Área de uma elipse
Com a=5 cm e b=3 cm, a região interna tem área A=π·5·3=15π cm². O comprimento do contorno não é 15π.
Excentricidade
Para a=5 e c=4, a excentricidade é e=4/5=0,8, valor entre 0 e 1. Isso descreve uma elipse não circular.
Teste de pertencimento
O ponto (0,3) está na elipse x²/25+y²/9=1, pois 0/25+9/9=1. Já (0,4) não pertence, porque 16/9>1.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Elipse
Qual é a definição matemática de elipse?
É o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante e maior que a distância entre esses focos.
Qual é a diferença entre foco e vértice da elipse?
Focos são pontos internos que definem a soma de distâncias; vértices são os extremos do eixo maior da curva.
Como saber se a elipse é horizontal ou vertical?
Na forma reduzida sem rotação, localize o maior denominador: se estiver sob x², o eixo maior é horizontal; se estiver sob y², é vertical.
Por que c² é igual a a² menos b²?
Porque foco, centro e covértice formam um triângulo retângulo de catetos c e b e hipotenusa a, então a²=b²+c².
Qual é a diferença entre área e perímetro da elipse?
A área da região interna é πab; o perímetro mede o comprimento da curva e não é obtido usando a fórmula da área.
Uma circunferência pode ser considerada uma elipse?
Sim, como caso particular com a=b e focos coincidentes, resultando na excentricidade e=0.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.1 The Ellipse — OpenStax — Precalculus 2e
- 10.4 Rotation of Axes — OpenStax — Precalculus 2e