Polígonos: tipos, ângulos, perímetro e exercícios
Conheça polígonos regulares, irregulares, convexos e côncavos. Aprenda somas de ângulos, diagonais e perímetros com exemplos resolvidos.
O que você vai aprender
- Reconhecer polígonos por lados e regularidade
- Aplicar fórmulas de ângulos e diagonais
- Calcular perímetros e interpretar medidas de área
Entenda o assunto
Polígonos são figuras planas fechadas delimitadas por segmentos de reta. Triângulos, quadriláteros e pentágonos são exemplos presentes em plantas, construções e objetos cotidianos.
A quantidade de lados determina o nome; as medidas dos lados e dos ângulos permitem classificá-los e calcular propriedades sem depender apenas da aparência do desenho.
O que é um polígono na geometria plana?
Um polígono é uma figura plana fechada cujo contorno é constituído somente por segmentos de reta. Em um polígono simples, esses segmentos não se cruzam fora dos vértices consecutivos.
Cada segmento é um lado; o encontro de dois lados consecutivos forma um vértice e um ângulo interno. Um círculo não é polígono, pois sua borda é curva, e uma linha aberta não delimita uma região fechada.
Lados, vértices e nomes dos polígonos
A quantidade de lados determina o nome: triângulo possui três, quadrilátero quatro, pentágono cinco, hexágono seis, heptágono sete e octógono oito lados.
Em um polígono simples com n lados também há n vértices e n ângulos internos. A contagem deve considerar cada segmento completo do contorno, mesmo quando a figura está inclinada ou girada.
Polígonos regulares e irregulares
Um polígono regular tem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos internos congruentes. Ter apenas lados iguais não basta, de modo geral, para garantir a regularidade.
Um quadrado é um quadrilátero regular porque tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Um retângulo que não seja quadrado tem os ângulos iguais, mas lados de comprimentos diferentes.
Qual é a diferença entre convexo e côncavo?
Em um polígono simples convexo, qualquer segmento que una dois pontos internos permanece dentro da figura. Em um polígono côncavo, existe pelo menos uma reentrância.
Uma forma prática de reconhecer a concavidade em polígonos simples é procurar um ângulo interno maior que 180°. Uma figura com bordas que se cruzam exige outro cuidado e não segue automaticamente todas as fórmulas usadas aqui.
Por que a soma dos ângulos internos é (n − 2) × 180°?
Em qualquer polígono simples com n lados, uma triangulação sem sobreposições divide sua região em n − 2 triângulos. Cada triângulo plano contribui com 180° para a soma interna.
Assim, pentágonos têm soma interna de 3 × 180° = 540° e hexágonos, de 4 × 180° = 720°. A fórmula vale tanto para polígonos simples convexos quanto côncavos.
Como calcular cada ângulo interno de um polígono regular?
Como todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais, basta dividir a soma de seus ângulos pelo número de lados. Não é correto dividir por n em qualquer polígono irregular.
Em um hexágono regular, a soma é 720°; cada um dos seis ângulos mede 720° ÷ 6 = 120°. Essa propriedade é útil no desenho de mosaicos e de peças geométricas.
Por que os ângulos externos somam 360°?
Ao percorrer o contorno de um polígono simples, realizando a mesma escolha de sentido em todos os vértices, a soma algébrica dos giros externos corresponde a uma volta completa.
Para um polígono convexo, os ângulos externos usuais são positivos e somam 360°. Em um polígono regular convexo, cada externo mede 360° ÷ n; no octógono, 45°.
Como calcular o perímetro de um polígono?
Perímetro é o comprimento total da linha de contorno. Somam-se as medidas de todos os lados, respeitando a mesma unidade de comprimento, como centímetro, metro ou quilômetro.
Se um hexágono regular tem lado de 4 cm, seu perímetro é 6 × 4 = 24 cm. Já no polígono irregular, devem ser somadas as medidas de cada lado, sem presumir igualdade.
Quantas diagonais tem um polígono convexo?
Diagonal é um segmento que liga dois vértices que não são consecutivos. De cada vértice de um polígono com n lados, existem n − 3 possíveis diagonais a outros vértices.
Contar todas as ligações a partir de cada vértice duplica cada diagonal, por isso dividimos por dois. Um hexágono tem 6 × 3 ÷ 2 = 9 diagonais; num polígono côncavo, algumas podem ficar fora da região.
Aplicações de polígonos e cálculo de área
Polígonos aparecem em plantas de imóveis, mosaicos, placas, pisos e estruturas. A área mede a região ocupada, enquanto o perímetro mede a extensão da borda, grandezas que não devem ser confundidas.
Uma estratégia geral para obter áreas de polígonos simples é decompor a figura em triângulos e outras formas de área conhecida. Para polígonos regulares, quando o apótema é dado, vale metade do perímetro vezes o apótema.
Passo a passo
- 01
Conte os lados e confirme que o contorno está fechado e formado apenas por segmentos de reta.
- 02
Identifique se o polígono é regular, irregular, convexo ou côncavo antes de escolher a propriedade.
- 03
Para ângulos internos, use (n − 2) × 180°; divida por n somente quando os ângulos forem iguais.
- 04
Calcule perímetro somando os lados e confira se a resposta está na unidade de comprimento correta.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Identificação pelo número de lados
Uma figura plana simples fechada de cinco lados é um pentágono. A classificação depende da contagem dos lados, e não do tamanho ou da orientação do desenho.
Soma de um pentágono
Para n = 5, S = (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. A mesma soma vale para pentágonos simples convexos ou côncavos.
Ângulo do hexágono regular
A soma interna é (6 − 2) × 180° = 720°. Como os seis ângulos são iguais, cada um mede 720° ÷ 6 = 120°.
Ângulo externo de octógono regular
A soma dos ângulos externos é 360°. Dividindo igualmente entre oito vértices, obtemos 360° ÷ 8 = 45°.
Perímetro de hexágono regular
Um hexágono de lado 7 cm tem seis lados iguais, portanto P = 6 × 7 = 42 cm de contorno.
Diagonais de um pentágono
São n(n − 3)/2 = 5 × 2/2 = 5 diagonais distintas. Não conte duas vezes o mesmo segmento entre vértices.
Área com apótema
Um polígono regular com perímetro de 40 cm e apótema de 6 cm tem área A = 40 × 6 ÷ 2 = 120 cm².
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Polígonos
O círculo é considerado um polígono?
Não. Um polígono tem somente segmentos de reta no contorno. A circunferência é curva, por isso a região circular não é um polígono.
Qual é a diferença entre polígono regular e convexo?
Regular descreve lados e ângulos iguais. Convexo descreve a ausência de reentrâncias; nem todo convexo é regular e os polígonos regulares simples são convexos.
A soma dos ângulos internos depende do tamanho do polígono?
Não. Em um polígono simples plano, a soma depende apenas da quantidade de lados: (n − 2) × 180°, independentemente do tamanho dos lados.
Como descubro os lados pelo ângulo externo regular?
Se o polígono é regular e convexo e cada ângulo externo mede e graus, o número de lados é n = 360° ÷ e, que deve ser um inteiro maior ou igual a três.
Perímetro e área são a mesma medida?
Não. Perímetro mede o contorno em unidades lineares; área mede a região interna em unidades quadradas. Uma figura pode ter medidas diferentes para as duas grandezas.
Por que um hexágono tem nove diagonais?
Cada um dos seis vértices liga-se a três vértices não vizinhos; o total 18 conta cada segmento duas vezes. Assim, 18 ÷ 2 = 9 diagonais.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference — Contemporary Mathematics — OpenStax, Rice University
- 10.6 Area — Contemporary Mathematics — OpenStax, Rice University