Triângulos: classificação, área, perímetro e exercícios
Estude os tipos de triângulos, a soma dos ângulos internos, a desigualdade triangular e as fórmulas de área e perímetro com exemplos.
O que você vai aprender
- Classificar triângulos pelos lados e ângulos
- Usar a soma dos ângulos e a desigualdade triangular
- Calcular perímetro e área com base e altura
Entenda o assunto
Um triângulo é um polígono com três lados, três vértices e três ângulos internos. Sua classificação pode ser feita pelos comprimentos dos lados ou pelos ângulos.
As propriedades fundamentais incluem soma dos ângulos internos igual a 180° na geometria plana, desigualdade triangular, perímetro como soma dos lados e área como metade do produto da base pela altura.
O que é um triângulo e quais são seus elementos?
Um triângulo é um polígono formado por três segmentos de reta que unem três pontos não alinhados. Possui três lados, três vértices e três ângulos internos.
Na notação ΔABC, as letras A, B e C indicam os vértices. A escolha da base é livre, mas a altura relativa a ela deve ser perpendicular à reta que contém essa base.
Como classificar os triângulos pelos lados?
O equilátero possui três lados iguais, o isósceles possui pelo menos dois lados iguais e o escaleno tem três lados de comprimentos diferentes.
Pela definição inclusiva, todo equilátero também é isósceles. Alguns livros escolares reservam o termo isósceles para exatamente dois lados iguais; é importante conferir a convenção adotada.
Como classificar os triângulos pelos ângulos?
O acutângulo possui três ângulos agudos. O retângulo tem um ângulo reto de 90°, e o obtusângulo possui um ângulo obtuso, maior que 90°.
Um triângulo não pode ter dois ângulos retos ou dois obtusos: isso faria a soma ultrapassar 180°. A classificação por lados é independente da classificação por ângulos.
Por que os ângulos internos somam 180°?
Na geometria euclidiana plana, traçando por um vértice uma reta paralela ao lado oposto, formam-se ângulos alternos internos iguais aos outros dois ângulos do triângulo.
Os três ângulos ficam alinhados sobre uma reta, formando 180°. Assim, se dois medem 50° e 60°, o terceiro mede 180° − 110° = 70°.
Quando três segmentos conseguem formar um triângulo?
A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados deve ser maior do que o comprimento do terceiro. A condição evita que os segmentos fiquem alinhados ou separados.
Por exemplo, 3, 4 e 8 não formam triângulo porque 3 + 4 = 7, que é menor que 8. Já 3, 4 e 5 satisfazem a condição.
Como calcular o perímetro de um triângulo?
O perímetro mede o comprimento de todo o contorno da figura. Basta somar os três lados, desde que estejam expressos na mesma unidade.
Um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm tem perímetro 20 cm. Perímetro não é área: sua unidade é linear, como centímetros ou metros.
Por que a área do triângulo é base vezes altura dividido por dois?
Dois triângulos congruentes podem formar um paralelogramo com a mesma base e altura. O paralelogramo ocupa área b × h, então cada triângulo corresponde à metade.
A altura precisa ser perpendicular à base. Para base de 10 cm e altura de 6 cm, a área é (10 × 6)/2 = 30 cm², mesmo se o triângulo for obtusângulo.
O que acontece com os ângulos de triângulos equiláteros e isósceles?
Em um triângulo equilátero, os três lados têm a mesma medida e os três ângulos internos medem 60°. Em um isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são iguais.
Se um isósceles tem ângulo do vértice de 40°, os outros dois somam 140° e são iguais: cada ângulo da base mede 70°.
Como o Teorema de Pitágoras se relaciona aos triângulos?
No triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°; os outros lados são os catetos. Para esses triângulos, vale o Teorema de Pitágoras.
Se os catetos medem 3 e 4, a hipotenusa mede 5 porque 3² + 4² = 25 = 5². A fórmula não pode ser aplicada diretamente a qualquer triângulo.
Onde os triângulos aparecem em construções e problemas?
Os triângulos são utilizados em treliças, coberturas, medições de terrenos, mapas e estruturas que precisam manter sua forma quando as barras são rígidas.
Em questões geométricas, comece identificando os dados: lados, ângulos, base, altura e unidade. Depois selecione a relação correta, sem confundir área com perímetro.
Passo a passo
- 01
Identifique os três lados, vértices e ângulos; desenhe um esquema com as medidas dadas.
- 02
Classifique pelos lados: equilátero, isósceles ou escaleno; e pelos ângulos: acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
- 03
Para ângulos desconhecidos, use a soma 180°. Para os lados, confira a desigualdade triangular.
- 04
Para medidas, some os três lados no perímetro ou calcule base × altura ÷ 2 na área, sempre indicando a unidade correta.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Soma dos ângulos internos
Se dois ângulos de um triângulo medem 50° e 60°, o terceiro mede 180° − 50° − 60° = 70°.
Triângulo equilátero
Três lados congruentes implicam três ângulos iguais. Como a soma interna vale 180°, cada ângulo mede 60°.
Triângulo isósceles
Se o ângulo entre os lados iguais mede 40°, os dois ângulos da base medem (180° − 40°)/2 = 70° cada.
Desigualdade triangular
Os comprimentos 3, 4 e 8 não formam triângulo: 3 + 4 = 7, que é menor que 8. Já 3, 4 e 5 formam.
Perímetro de um triângulo
Com lados de 5 cm, 7 cm e 8 cm, o perímetro é 5 + 7 + 8 = 20 cm.
Área com base e altura
Uma base de 10 cm e altura perpendicular de 6 cm fornecem A = 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm².
Triângulo retângulo e Pitágoras
Se os catetos medem 3 cm e 4 cm, c² = 3² + 4² = 25; logo, a hipotenusa mede 5 cm.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Triângulos
Qual é a diferença entre equilátero, isósceles e escaleno?
Equilátero tem três lados iguais; isósceles tem pelo menos dois lados iguais; escaleno tem os três lados diferentes.
Todo triângulo equilátero também é isósceles?
Na definição inclusiva de isósceles, sim, porque três lados iguais incluem pelo menos dois iguais. Alguns materiais escolares usam uma convenção exclusiva.
Por que a soma dos ângulos internos é 180°?
Na geometria euclidiana plana, uma reta paralela a um lado passando pelo vértice oposto permite alinhar os três ângulos internos sobre um ângulo raso.
Como encontrar a altura de um triângulo?
A altura relativa à base é um segmento perpendicular à reta que contém essa base e passa pelo vértice oposto; pode ficar fora da figura em certos casos.
Quais medidas não formam um triângulo?
Se a soma de dois lados for menor ou igual ao terceiro, não se forma um triângulo não degenerado. Por exemplo, 2, 3 e 5 não serve.
Todo triângulo pode usar o Teorema de Pitágoras?
Não. A fórmula relaciona os catetos e a hipotenusa de triângulos retângulos. Para outros triângulos, são necessárias relações diferentes.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem — Prealgebra 2e — OpenStax — Rice University
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids — Prealgebra 2e — OpenStax — Rice University
- Euclid’s Elements, Book I — Geometric Foundations — Clark University — D. E. Joyce