Quadriláteros: tipos, propriedades e áreas
Aprenda a identificar quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos e trapézios, com fórmulas de área, perímetro e exercícios resolvidos.
O que você vai aprender
- Distinguir os principais tipos de quadriláteros
- Usar a soma de 360° para ângulos internos
- Aplicar corretamente fórmulas de área e perímetro
Entenda o assunto
Quadriláteros são polígonos com quatro lados. Quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos e trapézios têm características próprias, mas algumas figuras pertencem a mais de uma categoria.
Suas propriedades explicam por que certas fórmulas de área funcionam. A soma dos ângulos internos é 360°, enquanto paralelismo e igualdade dos lados permitem identificar cada tipo.
O que é um quadrilátero?
Quadrilátero é um polígono com quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos internos. Seus lados podem ter diferentes comprimentos, e a figura pode ser convexa ou côncava.
Nos problemas iniciais, trabalhamos principalmente com quadriláteros convexos, para os quais os segmentos que ligam pontos internos permanecem na região. A orientação do desenho não altera a classificação.
Por que os ângulos internos de um quadrilátero somam 360°?
A diagonal que une dois vértices não consecutivos de um quadrilátero convexo divide sua região em dois triângulos. Cada triângulo tem soma interna de 180°.
Somando os dois resultados, temos 180° + 180° = 360°. Se três ângulos medem 80°, 90° e 110°, o quarto mede 360° − 280° = 80°.
O que caracteriza um paralelogramo?
Paralelogramo é um quadrilátero convexo com dois pares de lados opostos paralelos. Seus lados opostos têm o mesmo comprimento e seus ângulos opostos têm a mesma medida.
Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo somam 180°. A diagonal divide a figura em dois triângulos de áreas iguais, propriedade importante para demonstrar a área.
Quais são as propriedades de um retângulo?
Retângulo é um paralelogramo com quatro ângulos retos, de 90°. Os lados opostos são iguais, e as diagonais possuem o mesmo comprimento.
A área do retângulo vem da contagem de unidades quadradas em linhas e colunas: base vezes altura. Seu perímetro é a soma das duas bases e das duas alturas.
Por que o quadrado também é retângulo e losango?
Quadrado possui quatro lados iguais e quatro ângulos retos. É retângulo porque tem ângulos retos e losango porque seus quatro lados são congruentes.
Também é um paralelogramo, já que os pares de lados opostos são paralelos. Suas diagonais são iguais, perpendiculares e se cortam ao meio.
O que caracteriza um losango?
Losango é um paralelogramo que tem os quatro lados com o mesmo comprimento. Seus ângulos não precisam ser retos; se forem, a figura será também um quadrado.
As diagonais de um losango são perpendiculares e se dividem ao meio. A área pode ser obtida pelo produto das diagonais dividido por dois ou por base vezes altura.
Como identificar trapézios e suas bases?
Na convenção escolar usual adotada nesta aula, trapézio é o quadrilátero convexo com exatamente um par de lados opostos paralelos. Esses lados são chamados de bases.
A altura é a distância perpendicular entre as retas que contêm as bases. Há outra convenção matemática que inclui paralelogramos entre os trapézios; verifique qual definição a escola usa.
Como comparar perímetro e área dos quadriláteros?
Perímetro é a soma dos quatro lados e indica o comprimento do contorno. Área representa a medida da região ocupada e precisa ser informada em unidades quadradas.
Um retângulo com lados de 8 cm e 5 cm tem perímetro de 26 cm e área de 40 cm². Esses valores descrevem grandezas distintas e não devem ser trocados.
Diagonais, pontos médios e simetrias
Uma diagonal de quadrilátero une dois vértices não consecutivos; em um quadrilátero há duas diagonais. Nos paralelogramos, elas se cortam em seus pontos médios.
No retângulo, as diagonais são também congruentes; no losango, perpendiculares; e no quadrado possuem as duas propriedades. Essas características ajudam a reconhecer figuras.
Por que as fórmulas de área funcionam?
Um paralelogramo pode ser recortado e rearranjado em um retângulo com a mesma base e altura, explicando A = b × h. Dois trapézios congruentes formam um paralelogramo.
Nesse rearranjo dos trapézios, a base do novo paralelogramo é B + b e sua área é (B + b)h. Metade desse valor pertence a um trapézio: A = (B + b)h/2.
Passo a passo
- 01
Identifique os lados opostos paralelos e compare as medidas dos lados e ângulos.
- 02
Classifique a figura com base em suas propriedades, lembrando que o quadrado também é retângulo e losango.
- 03
Escolha a fórmula correta para área ou perímetro e localize a altura perpendicular quando ela for necessária.
- 04
Calcule com atenção e confirme as unidades: perímetro em cm ou m, área em cm² ou m².
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Quarto ângulo de quadrilátero
Se os três primeiros ângulos medem 75°, 85° e 110°, o quarto é 360° − (75° + 85° + 110°) = 90°.
Área de retângulo
Uma sala retangular de 6 m por 4 m tem área de 6 × 4 = 24 m². O perímetro é 2(6 + 4) = 20 m.
Perímetro de quadrado
Uma moldura quadrada de lado 9 cm tem P = 4 × 9 = 36 cm e área de 9² = 81 cm².
Área de paralelogramo
Com base de 10 cm e altura perpendicular de 6 cm, A = 10 × 6 = 60 cm². A altura não precisa ser a medida do lado oblíquo.
Área de trapézio
Bases de 12 cm e 8 cm, com altura de 5 cm: A = (12 + 8) × 5 ÷ 2 = 50 cm².
Área de losango
As diagonais medem 10 cm e 6 cm. A área é (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm².
Ângulos de paralelogramo
Se um ângulo de um paralelogramo mede 65°, o ângulo vizinho mede 180° − 65° = 115°, e o oposto mede 65°.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Quadriláteros
Todo quadrado é um retângulo?
Sim. Um retângulo tem quatro ângulos retos, propriedade presente em qualquer quadrado. O quadrado também é um losango e um paralelogramo.
Todo retângulo é um quadrado?
Não. Para ser quadrado, além dos quatro ângulos retos, o retângulo precisa ter todos os lados congruentes.
Trapézio pode ter dois pares de lados paralelos?
Depende da convenção. Aqui adotamos a definição escolar exclusiva: exatamente um par de lados paralelos. Em outras definições, paralelogramos são casos particulares de trapézio.
Por que a área do trapézio é dividida por dois?
Dois trapézios congruentes podem compor um paralelogramo de base igual à soma das bases e altura igual à do trapézio. Um trapézio ocupa metade dessa área.
Qual é a diferença entre losango e quadrado?
O losango sempre tem os quatro lados iguais, mas seus ângulos podem não ser retos. O quadrado é o caso em que os quatro ângulos também medem 90°.
A altura de um paralelogramo é o lado inclinado?
Não necessariamente. A altura é a distância perpendicular entre as retas das bases. O lado inclinado só coincide com a altura quando é perpendicular à base.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference — Contemporary Mathematics — OpenStax, Rice University
- 10.6 Area — Contemporary Mathematics — OpenStax, Rice University