Seno, Cosseno e Tangente: Fórmulas e Exercícios
Entenda seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, identifique catetos e hipotenusa e resolva questões com ângulos notáveis e exemplos comentados.
O que você vai aprender
- Identificar cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa relativos a θ
- Calcular seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos
- Resolver problemas com ângulos de 30°, 45° e 60° sem confundir razões
Entenda o assunto
Seno, cosseno e tangente são razões entre comprimentos de lados de um triângulo retângulo. Elas dependem do ângulo agudo considerado, mas não do tamanho absoluto do triângulo, porque triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes.
Para identificar a razão correta, marque o ângulo θ. A hipotenusa fica diante do ângulo de 90°; o cateto oposto fica diante de θ e o adjacente encosta em θ. Essa escolha é fundamental para interpretar as fórmulas.
Quais são as definições de seno, cosseno e tangente?
No triângulo retângulo, o seno de θ é o quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa. O cosseno divide o cateto adjacente pela hipotenusa, enquanto a tangente divide oposto por adjacente.
Os três valores são números puros, pois representam razões de comprimentos na mesma unidade. No triângulo com lados 3, 4 e 5, tomando θ oposto ao lado 3, obtemos 3/5, 4/5 e 3/4, respectivamente.
Como distinguir os catetos oposto e adjacente?
Primeiro encontre o ângulo de 90° para localizar a hipotenusa. Depois observe o ângulo θ escolhido entre os dois ângulos agudos: o lado em frente é o oposto; o outro cateto, que forma θ, é o adjacente.
Na mesma figura, trocar θ pelo outro ângulo agudo inverte os papéis dos catetos. Isso não altera a hipotenusa, mas altera os valores numéricos do seno e do cosseno.
Por que essas razões não dependem do tamanho?
Dois triângulos retângulos que têm θ igual possuem também o mesmo segundo ângulo agudo. Assim eles são semelhantes pelo critério ângulo-ângulo, e lados correspondentes são proporcionais.
Se todos os lados de um triângulo são multiplicados por 2, as razões 3/5, 4/5 e 3/4 continuam sendo 6/10, 8/10 e 6/8. É por isso que podemos associar um valor a cada ângulo.
Quando escolher a fórmula do seno?
Escolha o seno quando o problema envolve cateto oposto e hipotenusa. Se sen θ=1/2 e a hipotenusa mede 12 cm, o cateto oposto mede 6 cm, pois O/12=1/2.
Se conhecemos o cateto oposto e o seno, podemos calcular a hipotenusa dividindo O por sen θ, desde que o seno não seja zero. Num triângulo retângulo com θ agudo, o seno é positivo.
Quando escolher a fórmula do cosseno?
O cosseno relaciona o cateto adjacente à hipotenusa. Para θ=60°, como cos 60°=1/2, uma hipotenusa de 10 cm possui cateto adjacente de 5 cm.
O cosseno de ângulos agudos fica entre zero e um, pois nenhum cateto é maior que a hipotenusa. Sempre confira se o lado dado está ao lado do ângulo θ, e não diante dele.
Quando escolher a fórmula da tangente?
A tangente relaciona os dois catetos, sem utilizar a hipotenusa. Se θ=45° e a distância horizontal é 7 m, a diferença vertical também é 7 m, porque tg 45°=1.
Para outros ângulos agudos, a tangente é a inclinação da linha de visada em relação à horizontal. Na extensão ao círculo, tg θ=sen θ/cos θ e não está definida quando cos θ=0.
Como obter os valores de 30°, 45° e 60°?
Um triângulo equilátero de lado 2, dividido pela altura, produz catetos 1 e √3, hipotenusa 2 e ângulos de 30° e 60°. Por isso sen 30°=1/2, cos 30°=√3/2 e tg 30°=√3/3.
Um triângulo retângulo isósceles com catetos 1 tem hipotenusa √2 pelo Teorema de Pitágoras. Assim sen 45°=cos 45°=√2/2 e tg 45°=1.
Por que seno e cosseno trocam em ângulos complementares?
Os dois ângulos agudos de qualquer triângulo retângulo somam 90°. Quando escolhemos um ou outro, o cateto oposto vira adjacente e vice-versa.
Consequentemente, sen θ=cos(90°−θ) para ângulos em graus. Por exemplo, sen 30°=cos 60°=1/2. A relação ajuda a verificar cálculos e tabelas.
Como aplicar as razões à inclinação e à altura?
Em uma rampa, podemos relacionar a subida vertical ao comprimento inclinado pelo seno do ângulo com o chão. Se a rampa tem 10 m e elevação de 30°, a subida vale 10·sen 30°=5 m.
Quando conhecemos a extensão horizontal e a subida, a tangente é mais direta: tg θ=altura/distância. O comprimento inclinado da rampa é a hipotenusa, não o cateto adjacente.
Quais erros são mais comuns ao usar razões trigonométricas?
Aplicar seno ao cateto adjacente ou cosseno ao oposto troca os resultados. Outra falha é tomar a hipotenusa como o lado que aparece inclinado no desenho; ela é definida pelo ângulo de 90°, não pela orientação da página.
Também é incorreto afirmar que a tangente existe para todo ângulo: no círculo, ela não existe quando o cosseno é zero. O valor obtido em calculadora depende do modo angular selecionado.
Passo a passo
- 01
Localize o ângulo reto e marque a hipotenusa como o lado mais longo.
- 02
Marque θ e identifique qual cateto está oposto e qual é adjacente a esse ângulo.
- 03
Escolha seno (O/H), cosseno (A/H) ou tangente (O/A) conforme os dois lados envolvidos.
- 04
Substitua os valores, isole a incógnita e confira se o comprimento encontrado é plausível.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Seno de um ângulo num triângulo 3–4–5
Tomando θ oposto ao cateto 3, sen θ=3/5=0,6, pois a hipotenusa mede 5.
Cosseno no mesmo triângulo
Com θ oposto ao lado 3, o cateto adjacente é 4, então cos θ=4/5=0,8.
Tangente no mesmo triângulo
Os catetos oposto e adjacente medem 3 e 4; portanto tg θ=3/4=0,75.
Encontrar um cateto usando seno
Se sen 30°=1/2 e a hipotenusa vale 14 cm, o cateto oposto é O=14·1/2=7 cm.
Encontrar um cateto usando cosseno
Com ângulo de 60° e hipotenusa de 18 m, o cateto adjacente é A=18·cos 60°=9 m.
Altura de uma rampa
Uma rampa de 8 m de extensão inclinada faz 30° com o solo: sua subida é 8·sen 30°=4 m.
Diferença vertical pela tangente
Com um ângulo de 45° e distância horizontal de 15 m, a diferença de altura é 15·tg 45°=15 m.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Seno, Cosseno e Tangente
Como memorizar as três razões trigonométricas?
Use as letras O, A e H: seno é O/H, cosseno é A/H e tangente é O/A. Faça o desenho para não trocar os catetos.
O cateto adjacente é sempre a base do desenho?
Não. O cateto adjacente é o que toca o ângulo agudo escolhido; sua posição pode variar quando giramos a figura.
Qual é o valor exato de seno de 30 graus?
sen 30°=1/2, pois no triângulo de 30°–60°–90° o cateto oposto a 30° mede metade da hipotenusa.
Por que seno e cosseno não ultrapassam 1 em módulo?
No triângulo retângulo, cada cateto é menor que a hipotenusa; no círculo unitário, as coordenadas ficam entre −1 e 1.
A tangente é sempre menor que um?
Não. Para ângulos agudos acima de 45°, a tangente pode ser maior que 1, como tg 60°=√3.
Qual razão devo usar para uma rampa inclinada?
Se conhece comprimento inclinado e altura, use seno; se conhece distância horizontal e altura, use tangente.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.2 Right Triangle Trigonometry — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e
- 7.3 Unit Circle — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e