Arcos Duplos e Metade: Fórmulas e Exercícios
Aprenda fórmulas de arco duplo e arco metade para seno, cosseno e tangente, com demonstrações, valores exatos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Deduzir fórmulas de arco duplo a partir de adição de arcos
- Aplicar redução de potências e calcular ângulos metade
- Escolher o sinal correto e identificar denominadores proibidos
Entenda o assunto
Aprenda fórmulas de arco duplo e arco metade para seno, cosseno e tangente, com demonstrações, valores exatos e exercícios comentados.
Nesta aula, cada fórmula é explicada com suas condições de uso, demonstrações e exemplos. O gabarito completo pode ser lido no HTML da própria página, mesmo sem JavaScript.
Como surgem as fórmulas do arco duplo
As fórmulas de ângulo duplo são obtidas fazendo a=b nas identidades de soma. Portanto não são regras isoladas para memorizar; derivam da composição de duas rotações de mesmo tamanho.
Ao aplicar sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b com a=b=x, os dois termos se igualam, produzindo sen(2x)=2sen x cos x.
Demonstração e uso de sen(2x)
A identidade sen(2x)=2sen x cos x permite calcular o seno do ângulo duplo sem determinar diretamente o valor de 2x. Isso é especialmente útil quando conhecemos seno e cosseno de x.
Se sen x=3/5 e cos x=4/5, então sen(2x)=2·3/5·4/5=24/25. É essencial conferir se os sinais dados são compatíveis com o quadrante.
Três formas equivalentes de cos(2x)
Aplicando cos(a+b)=cos a cos b−sen a sen b com a=b=x, obtemos cos(2x)=cos²x−sen²x. Pela identidade pitagórica, essa expressão admite mais duas formas úteis.
Substituindo sen²x=1−cos²x, resulta 2cos²x−1. Substituindo cos²x=1−sen²x, resulta 1−2sen²x. Cada forma é conveniente conforme o dado disponível.
Tangente do arco duplo e domínio
A fórmula da soma aplicada duas vezes ao mesmo ângulo fornece tg(2x)=2tg x/(1−tg²x), desde que tg x exista e o denominador não seja zero.
Em x=45°, por exemplo, tg x=1 e o denominador se anula; isso corresponde a tg90°, que de fato não está definida. As restrições não são detalhe opcional.
Redução de potências de seno e cosseno
Partindo de cos(2x)=1−2sen²x e isolando sen²x, encontramos sen²x=(1−cos2x)/2. Da identidade cos(2x)=2cos²x−1, vem cos²x=(1+cos2x)/2.
Essas igualdades transformam quadrados de funções em expressões sem potências. São úteis para simplificar expressões trigonométricas e, em estudos posteriores, calcular integrais.
Fórmula do seno de um ângulo metade
Substituindo x por t/2 na identidade sen²x=(1−cos2x)/2, obtemos sen²(t/2)=(1−cos t)/2. Ao extrair a raiz quadrada surge a possibilidade de sinal positivo ou negativo.
O sinal adequado é determinado pelo quadrante do ângulo t/2, não pelo sinal de sen t. Por exemplo, sen15° é positivo porque 15° está no primeiro quadrante.
Fórmula do cosseno de um ângulo metade
De cos²x=(1+cos2x)/2, resulta cos(t/2)=±√((1+cos t)/2). Assim como para o seno, o sinal depende da posição do ângulo metade.
Em 150°/2=75°, o cosseno é positivo, enquanto em 300°/2=150°, é negativo. A raiz quadrada representa apenas o módulo até que o quadrante seja considerado.
Duas formas racionais para tg(t/2)
Quando os denominadores são diferentes de zero, a tangente do ângulo metade pode ser obtida por sen t/(1+cos t) ou por (1−cos t)/sen t. As formas resultam da divisão das identidades de meia-volta.
Cada expressão tem restrições próprias. Por exemplo, a forma com sen t no denominador não serve quando sen t=0, mesmo em casos em que tg(t/2) existe.
Como encontrar valores de 15°
Como 15° é a metade de 30°, sen15°=√((1−cos30°)/2). Substituindo cos30°=√3/2, chegamos a sen15°=√(2−√3)/2.
Esse valor também equivale a (√6−√2)/4, obtido pela fórmula de diferença 45°−30°. As duas representações podem ser verificadas elevando ao quadrado.
Aplicações e cuidados nas substituições
As fórmulas de ângulo duplo simplificam modelos oscilatórios, expressões de geometria e relações entre sinais periódicos. As fórmulas de arco metade ajudam a calcular valores exatos que não constam diretamente das tabelas usuais.
Antes de simplificar, confirme se o exercício pede sen2x ou (sen x)²: são expressões diferentes. Ao usar raiz quadrada em arco metade, registre o quadrante e nunca descarte automaticamente o sinal negativo.
Passo a passo
- 01
Verifique se o exercício pede uma função do dobro ou metade de um ângulo.
- 02
Escolha a forma equivalente da identidade conforme os dados disponíveis.
- 03
Calcule, observando quadrante e restrições de denominadores.
- 04
Para arco metade, escolha o sinal da raiz conforme o quadrante do ângulo metade.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Seno de 60° pelo arco duplo
sen60°=2sen30°cos30°=2·(1/2)·(√3/2)=√3/2.
Cosseno de 60° pelo arco duplo
cos60°=cos²30°−sen²30°=3/4−1/4=1/2.
Seno duplo com 3-4-5
Se sen x=3/5 e cos x=4/5, então sen2x=2·3/5·4/5=24/25.
Cosseno duplo com seno
Se sen x=3/5, então cos2x=1−2(3/5)²=1−18/25=7/25, sem precisar do sinal de cos x.
Seno de 15° pelo arco metade
sen15°=√((1−cos30°)/2)=√((2−√3)/4)=√(2−√3)/2. O sinal é positivo no 1º quadrante.
Redução de potência
sen²30°=(1−cos60°)/2=(1−1/2)/2=1/4, igual ao quadrado de sen30°.
Tangente do arco duplo
tg(2·30°)=2tg30°/(1−tg²30°)=2/√3 ÷ (2/3)=√3, coerente com tg60°.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Arcos Duplos e Metade
Sen(2x) é igual a 2sen x?
Não. A identidade correta é sen2x=2sen x cos x. O fator cosseno é indispensável.
Por que existem três formas para cos(2x)?
A identidade pitagórica permite substituir sen²x por 1−cos²x ou fazer o contrário, gerando expressões equivalentes.
Quando devo escolher sinal negativo no arco metade?
Quando a função trigonométrica procurada é negativa no quadrante onde termina o ângulo metade.
Como reduzir sen²x sem perder o argumento?
Use sen²x=(1−cos2x)/2. O ângulo dentro do cosseno é o dobro de x.
tg2x está definida sempre que tg x existe?
Não. Além de tg x existir, o denominador 1−tg²x deve ser diferente de zero.
É possível calcular sen15° sem calculadora?
Sim. Use a fórmula de arco metade de 30° ou a fórmula de diferença entre 45° e 30°; ambas levam ao mesmo valor exato.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.3 Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas — OpenStax — Precalculus 2e
- 7.2 Sum and Difference Identities — OpenStax — Precalculus 2e
- 7.1 Simplifying and Verifying Trigonometric Identities — OpenStax — Precalculus 2e