Identidades Trigonométricas: Fórmulas e Demonstrações
Aprenda identidades trigonométricas, demonstrações pelo círculo unitário, relações pitagóricas e simplificações com 10 exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Demonstrar a identidade pitagórica e suas consequências
- Usar relações de quociente, recíprocas e paridade
- Simplificar expressões respeitando os domínios
Entenda o assunto
Aprenda identidades trigonométricas, demonstrações pelo círculo unitário, relações pitagóricas e simplificações com 10 exercícios comentados.
Nesta aula, cada fórmula é explicada com suas condições de uso, demonstrações e exemplos. O gabarito completo pode ser lido no HTML da própria página, mesmo sem JavaScript.
O que é uma identidade trigonométrica?
Uma identidade trigonométrica é uma igualdade verdadeira para todos os valores da variável em que ambos os lados estão definidos. Diferentemente de uma equação para resolver, seu objetivo é mostrar duas maneiras equivalentes de escrever uma expressão.
Por exemplo, sen²x+cos²x=1 vale para qualquer x real; já sen x=1/2 é uma equação verdadeira apenas para certos ângulos. A distinção entre identidade e equação evita conclusões equivocadas.
Demonstração da identidade fundamental pelo círculo
Em um círculo unitário, o ponto correspondente a um ângulo x tem coordenadas (cos x, sen x). Pela equação do círculo, a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual ao quadrado do raio, que vale 1.
Assim, cos²x+sen²x=1 decorre diretamente do Teorema de Pitágoras. A relação funciona em todos os quadrantes, porque os comprimentos ao quadrado eliminam os sinais das coordenadas.
Identidades de quociente e domínio
A tangente relaciona seno e cosseno pela divisão: tg x=sen x/cos x. A cotangente é cos x/sen x. Essas igualdades só podem ser usadas quando o denominador não é zero.
Por exemplo, tg(π/2) não existe porque cos(π/2)=0. É incorreto simplificar uma expressão e depois atribuir valores que estavam proibidos no domínio da expressão original.
Secante, cossecante e cotangente
As funções recíprocas são definidas por sec x=1/cos x, cossec x=1/sen x e cotg x=cos x/sen x. A interpretação exige atenção aos ângulos em que os denominadores se anulam.
O uso dessas relações é útil para converter expressões em seno e cosseno e reduzir a quantidade de funções diferentes. Antes de multiplicar denominadores, registre onde as expressões têm sentido.
Por que 1+tg²x=sec²x?
Dividindo a identidade sen²x+cos²x=1 por cos²x, quando cos x não é zero, obtemos tg²x+1=1/cos²x. O último termo é sec²x por definição.
Dividindo por sen²x, nos ângulos em que sen x≠0, chegamos à identidade 1+cotg²x=cossec²x. Essas fórmulas não são independentes: nascem da mesma relação pitagórica.
Funções pares e ímpares
O cosseno é par: cos(−x)=cos x. O seno e a tangente são ímpares nos pontos de seus domínios: sen(−x)=−sen x e tg(−x)=−tg x. Essas propriedades vêm da simetria do círculo.
Elas ajudam a simplificar valores em ângulos negativos sem uma tabela adicional. Por exemplo, sen(−30°)=−1/2 e cos(−60°)=1/2, respeitando os sinais de cada função.
Identidades de ângulos complementares
Quando dois ângulos somam 90°, o seno de um coincide com o cosseno do outro. A troca entre catetos oposto e adjacente de um triângulo retângulo explica a relação.
Assim sen(90°−x)=cos x e cos(90°−x)=sen x. A mesma propriedade pode ser descrita com π/2 radianos, mas não convém misturar unidades no mesmo cálculo.
Como provar identidades sem circularidade
Uma prova costuma começar pelo lado que parece mais complicado, aplicando fatoração, denominador comum ou conversão para seno e cosseno. O objetivo é chegar ao outro lado por igualdades válidas.
Não é suficiente substituir um ângulo específico, como 30°, e obter resultados iguais: isso verifica somente um caso. Para demonstrar a identidade é necessário justificar a equivalência para todos os valores admissíveis.
Cuidados ao cancelar fatores
Em (sen x·cos x)/sen x, o cancelamento produz cos x somente nos ângulos em que sen x≠0. Embora a fórmula simplificada tenha valor em mais pontos, isso não amplia o domínio original.
Da mesma forma, dividir sen²x+cos²x=1 por cos²x exclui todos os ângulos nos quais cos x se anula. Informar a condição de domínio faz parte de uma solução matemática completa.
Quando usar identidades na prática
Identidades simplificam expressões de geometria, física e funções periódicas. Também permitem reescrever equações trigonométricas em termos de uma única função antes de buscar as soluções.
Para conferir um resultado, teste alguns ângulos permitidos como verificação auxiliar e examine o domínio de cada etapa. Os testes numéricos ajudam a detectar erros, mas não substituem a demonstração.
Passo a passo
- 01
Identifique qual identidade relaciona as funções presentes na expressão.
- 02
Anote os valores que deixam algum denominador igual a zero.
- 03
Simplifique um lado da igualdade com álgebra e identidades já demonstradas.
- 04
Confira a equivalência final sem ampliar indevidamente o domínio original.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Identidade do círculo
No ponto P=(3/5,4/5) do círculo unitário, cos²x+sen²x=9/25+16/25=1. O exemplo ilustra a fórmula geral que decorre da equação do círculo.
Calculando o cosseno
Se sen x=3/5 e x está no 2º quadrante, cos²x=1−9/25=16/25. Como cos x é negativo nesse quadrante, cos x=−4/5.
Simplificando quociente
Para cos x≠0, (sen x/cos x)·cos x=sen x. O valor cos x=0 permanece excluído porque a fração original não existe.
Transformação pitagórica
Em cos x≠0, (1−cos²x)/cos²x=sen²x/cos²x=tg²x. Primeiro aplicamos a identidade fundamental, depois dividimos.
Identidade recíproca
Se cos x=1/2, então sec x=1/(1/2)=2. A secante está definida porque o cosseno não é zero.
Simetria do seno
sen(−30°)=−sen(30°)=−1/2, pois o seno é ímpar; essa relação vale para qualquer ângulo.
Ângulos complementares
sen(60°)=cos(30°)=√3/2. Em um triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são complementares.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Identidades Trigonométricas
Identidade e equação são a mesma coisa?
Não. Identidade é verdadeira para todos os valores admitidos no domínio; equação comum pode valer apenas para algumas soluções.
Posso provar uma identidade testando somente 30°?
Não. Um valor isolado pode ajudar na conferência, mas não prova a igualdade para todos os argumentos do domínio.
Por que sen²x+cos²x=1?
As coordenadas de um ponto do círculo de raio 1 obedecem ao Teorema de Pitágoras, o que produz essa soma.
A tangente existe em qualquer ângulo?
Não. A tangente é sen x dividido por cos x, portanto não existe quando cos x é zero.
Por que precisamos conferir o quadrante?
Ao extrair a raiz de cos²x ou sen²x, a identidade fornece o módulo. O quadrante determina se o valor é positivo ou negativo.
Uma simplificação pode mudar o domínio?
A nova expressão pode ter domínio aparentemente maior, mas uma igualdade com a expressão original mantém as exclusões anteriores.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.1 Simplifying and Verifying Trigonometric Identities — OpenStax — Precalculus 2e
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — OpenStax — Precalculus 2e