Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos
Entenda as fórmulas de seno, cosseno e tangente da soma e da diferença de ângulos, com demonstrações e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Demonstrar as fórmulas pelo círculo unitário e rotações
- Encontrar valores exatos de ângulos como 15° e 75°
- Aplicar fórmulas de tangente com as condições de domínio
Entenda o assunto
Entenda as fórmulas de seno, cosseno e tangente da soma e da diferença de ângulos, com demonstrações e exercícios comentados.
Nesta aula, cada fórmula é explicada com suas condições de uso, demonstrações e exemplos. O gabarito completo pode ser lido no HTML da própria página, mesmo sem JavaScript.
Por que sen(a+b) não é sen a + sen b?
Uma função trigonométrica transforma o ângulo em uma coordenada de um ponto no círculo unitário. A coordenada do ângulo resultante de uma rotação composta não é, em geral, a soma simples das coordenadas.
Por exemplo, sen(30°+60°)=sen 90°=1, enquanto sen 30°+sen 60°=1/2+√3/2, que é maior que 1. Precisamos das fórmulas de composição de ângulos.
Demonstração geométrica pela rotação
No círculo unitário, a distância entre dois pontos depende apenas da diferença angular. Essa invariância por rotação permite comparar as distâncias e demonstrar cos(a−b)=cos a cos b+sen a sen b.
Usando a paridade do cosseno e do seno, a fórmula para cos(a+b) surge ao substituir b por −b. A expressão do seno pode ser obtida por cofunções ou pela composição de rotações.
Fórmula do cosseno da soma
O cosseno de uma soma é o produto dos cossenos menos o produto dos senos dos ângulos envolvidos. O sinal negativo diferencia a soma da subtração.
Quando a=60° e b=30°, cos(a+b)=1/2·√3/2−√3/2·1/2=0. Isso coincide com cos 90° e mostra um teste concreto da regra.
Fórmula do cosseno da diferença
Na diferença de ângulos, o termo com os senos entra com sinal positivo. Isso ocorre porque sen(−b)=−sen b, e a fórmula da soma transforma a subtração em adição.
Por exemplo, cos(60°−30°)=cos60° cos30°+sen60° sen30°=√3/4+√3/4=√3/2. A equivalência pode ser confirmada com valores conhecidos e a fórmula geral.
Fórmula do seno da soma
O seno de a+b corresponde a sen a cos b+cos a sen b. Há dois produtos mistos, e a fórmula não contém produto de dois senos nem de dois cossenos isoladamente.
Esse resultado pode ser demonstrado tomando sen(a+b)=cos(90°−a−b) e usando as fórmulas do cosseno. É útil para obter valores exatos de ângulos como 75°.
Fórmula do seno da diferença
O seno de a−b pode ser calculado com o primeiro produto misto menos o segundo: sen a cos b−cos a sen b. O sinal precisa acompanhar a ordem dos ângulos.
Para 60°−30°, a fórmula fornece √3/2·√3/2−1/2·1/2=3/4−1/4=1/2, confirmando sen 30°.
Fórmulas da tangente e restrições
Dividindo as identidades do seno pelas do cosseno, obtemos tg(a+b)=(tg a+tg b)/(1−tg a tg b) e tg(a−b)=(tg a−tg b)/(1+tg a tg b), quando esses quocientes fazem sentido.
A fórmula escrita com tangentes exige que tg a e tg b existam, além do denominador indicado ser diferente de zero. Mesmo que tg(a±b) exista, essa forma pode não ser aplicável.
Valores exatos de 15° e 75°
Os ângulos 15° e 75° podem ser decompostos usando 45° e 30°. Com isso, as fórmulas de soma e diferença geram respostas exatas com raízes quadradas.
Por exemplo, sen75°=sen(45°+30°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4. A equivalência pode ser confirmada com valores conhecidos e a fórmula geral.
Rotação de vetores e coordenadas
As fórmulas de adição descrevem como as coordenadas de um vetor se transformam após uma rotação. Se o vetor unitário inicial faz ângulo a e o giramos por b, as coordenadas finais são (cos(a+b), sen(a+b)).
A matriz de rotação tem entradas cos b, −sen b, sen b e cos b. Multiplicá-la por (cos a, sen a) recupera as fórmulas e conecta Trigonometria à Álgebra Linear.
Como evitar erros de sinal e unidade
Os sinais mudam conforme a função e conforme se trata de soma ou diferença. Escrever as duas linhas completas antes de substituir os valores evita uma troca acidental de sinais.
Todos os ângulos precisam estar na mesma unidade, graus ou radianos. Uma checagem rápida com 90°, 0° ou outros ângulos conhecidos ajuda, mas não substitui a dedução da fórmula.
Passo a passo
- 01
Decida se a operação é soma ou subtração e qual função deve calcular.
- 02
Escreva a fórmula completa antes de substituir os dois ângulos.
- 03
Use valores notáveis coerentes com as unidades de medida.
- 04
Simplifique e confirme os sinais, observando as restrições da tangente.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Seno de 75°
sen75°=sen(45°+30°)=sen45° cos30°+cos45° sen30°=(√6+√2)/4.
Seno de 15°
sen15°=sen(45°−30°)=sen45°cos30°−cos45°sen30°=(√6−√2)/4.
Cosseno de 75°
cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°−sen45°sen30°=(√6−√2)/4.
Cosseno de 15°
cos15°=cos(45°−30°)=cos45°cos30°+sen45°sen30°=(√6+√2)/4.
Tangente de 75°
tg75°=tg(45°+30°)=(1+1/√3)/(1−1/√3)=2+√3. O denominador é não nulo.
Seno de 90° como soma
sen(30°+60°)=(1/2)(1/2)+(√3/2)(√3/2)=1/4+3/4=1.
Cosseno de diferença
cos(60°−30°)=(1/2)(√3/2)+(√3/2)(1/2)=√3/2.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos
O seno de uma soma é a soma dos senos?
Não. A fórmula correta envolve produtos mistos de seno e cosseno dos dois ângulos.
Qual o sinal do termo com senos no cosseno da soma?
É negativo: cos(a+b)=cos a cos b−sen a sen b. Na diferença, o termo entra com sinal positivo.
Posso usar as fórmulas em radianos?
Sim. Elas valem para ângulos expressos na mesma unidade; radianos e graus representam as mesmas rotações com escalas diferentes.
Por que a fórmula da tangente às vezes falha?
Ela é uma fração e exige que as tangentes componentes existam e que seu denominador seja diferente de zero.
Como calcular sen 75° sem calculadora?
Escreva 75°=45°+30° e aplique a fórmula da adição usando os valores conhecidos dos dois ângulos.
As fórmulas têm relação com matrizes de rotação?
Sim. Ao multiplicar a matriz de rotação pelos componentes de um vetor, surgem as fórmulas para seno e cosseno da soma.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 7.2 Sum and Difference Identities — OpenStax — Precalculus 2e
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — OpenStax — Precalculus 2e