Lei dos Senos: Fórmula, Demonstração e Exercícios
Entenda a Lei dos Senos em triângulos oblíquos, sua demonstração por alturas, os casos ALA, LAA e LLA, além de exemplos e exercícios resolvidos.
O que você vai aprender
- Identificar pares de lados e ângulos opostos em qualquer triângulo
- Aplicar e justificar a Lei dos Senos com alturas
- Distinguir soluções únicas, duplas e impossíveis no caso LLA
Entenda o assunto
Em qualquer triângulo não degenerado, o comprimento de cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto é uma mesma constante. Essa relação é chamada Lei dos Senos e permite resolver muitos triângulos sem ângulo reto.
Denominaremos A, B e C os ângulos internos e a, b e c os lados opostos, respectivamente. A correspondência entre letra maiúscula e letra minúscula é indispensável: a está sempre diante de A, e assim por diante.
O que a Lei dos Senos afirma?
Para qualquer triângulo plano cujos ângulos internos somam 180°, os três quocientes entre lado e seno de seu ângulo oposto são iguais. Os ângulos devem ser internos, e os comprimentos devem representar lados positivos de um triângulo verdadeiro.
A forma a/sen A=b/sen B=c/sen C pode ser invertida para sen A/a=sen B/b=sen C/c, desde que nenhum dos senos envolvidos seja zero. Num triângulo não degenerado, os três ângulos estão entre 0° e 180°.
Como reconhecer lados e ângulos opostos?
O lado a liga os vértices B e C e, por isso, fica oposto ao vértice A. Da mesma forma, b é oposto a B e c é oposto a C. Marcar esse padrão no desenho impede o erro mais recorrente da aplicação.
A regra é especialmente útil quando o triângulo está girado no papel ou possui ângulo obtuso. Um par lado-ângulo oposto é suficiente para construir uma razão de referência.
Por que a Lei dos Senos funciona?
Trace, a partir do vértice C, a altura h até a reta que contém AB. Pelas definições do seno nos triângulos retângulos formados, h=b·sen A e h=a·sen B, inclusive quando o pé da altura fica no prolongamento da base.
Igualando as duas expressões de h, temos b·sen A=a·sen B e, dividindo pelos senos positivos, a/sen A=b/sen B. Repetir a construção com outra altura fornece a terceira razão.
Qual é a relação com a circunferência circunscrita?
O triângulo pode ser inscrito em uma circunferência que passa pelos três vértices. Se R é o raio dessa circunferência, a forma ampliada da lei afirma que cada quociente lado/seno do ângulo oposto vale 2R.
Uma consequência é a=2R·sen A: lados maiores se associam a senos maiores, respeitando que os ângulos internos estão entre 0° e 180°. O valor 2R é o diâmetro da circunferência circunscrita.
Quando escolher a Lei dos Senos?
O método é particularmente direto nos casos ALA (dois ângulos e o lado entre eles) e LAA (dois ângulos e um lado que não fica entre ambos). O terceiro ângulo é calculado pela soma interna de 180°.
No caso LLA (dois lados e ângulo oposto a um dos lados), a lei ajuda, mas exige verificar mais de uma configuração possível. Se conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, a Lei dos Cossenos costuma ser o primeiro passo.
Como resolver um triângulo a partir de dois ângulos?
Considere A=30°, B=60° e a=4 cm. O terceiro ângulo é C=90°. Como a/sen A=8, segue b=8 sen60°=4√3 cm e c=8 sen90°=8 cm.
A soma de ângulos e a ordem dos lados confirmam a resposta: c é o maior lado e fica oposto ao maior ângulo, 90°. Manter os comprimentos exatos evita erros prematuros de arredondamento.
Por que o caso LLA pode ter duas soluções?
Se conhecemos A, a e b, obtemos sen B=b sen A/a. Como sen B=sen(180°−B), um mesmo seno positivo pode corresponder a um ângulo agudo ou a um obtuso. Para cada candidato, a soma com A precisa ser inferior a 180°.
Por exemplo, A=30°, a=5 e b=8 produz sen B=0,8. Tanto B≈53,13° quanto B≈126,87° satisfazem a restrição angular; portanto há dois triângulos possíveis, não um só.
Quando não existe triângulo ou há solução única?
Se a expressão b·sen A/a for maior que 1, nenhum valor real de B terá esse seno e não existe triângulo com os dados propostos. Se resultar exatamente 1, B=90° e pode existir uma única solução, dependendo de A.
Mesmo quando a razão está entre 0 e 1, não basta aceitar dois ângulos: examine se A+B é menor que 180° para cada possibilidade. Essa verificação elimina configurações incompatíveis.
Como usar a lei em medições e áreas?
Levantamentos topográficos podem triangular pontos a partir de um comprimento de referência e de ângulos medidos. O modelo supõe pontos coplanares e medições coerentes; erros de campo afetam a precisão dos resultados.
A relação com alturas também explica a fórmula da área S=(bc sen A)/2: b e c formam o ângulo A e o seno fornece o fator de altura perpendicular necessário.
Como conferir o resultado e evitar enganos?
Antes de calcular, confirme se o ângulo fornecido é oposto ao lado correspondente e se a calculadora está em graus ou radianos. Verifique a soma angular e mantenha todos os lados positivos.
O maior ângulo interno precisa ficar oposto ao maior lado. No caso ambíguo, investigue o suplemento do ângulo calculado e nunca aceite automaticamente apenas o valor indicado por arcsen.
Passo a passo
- 01
Desenhe o triângulo e identifique os pares (A,a), (B,b) e (C,c).
- 02
Registre os ângulos e lados conhecidos e calcule o ângulo restante se conhecer dois ângulos.
- 03
Monte a proporção a/sen A = b/sen B = c/sen C e isole a incógnita.
- 04
Se for o caso LLA (dois lados e um ângulo não incluído), examine o possível segundo ângulo antes de concluir.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Lado oposto a 60°
Se A=30°, B=60° e a=5 cm, então b/ sen 60°=5/sen 30°. Assim, b=5(√3/2)/(1/2)=5√3 cm.
Triângulo de ângulos 30°, 60° e 90°
Se c=10 cm é oposto a C=90°, o lado oposto a A=30° mede a=10·sen30°/sen90°=5 cm.
Encontrar o terceiro ângulo
Se A=45° e B=75°, então C=180°−45°−75°=60°. Esse passo evita associar o lado c ao seno de um ângulo incorreto.
Dois lados pela mesma referência
Se A=30°, B=45° e a=6, então b=6 sen45°/sen30°=6√2. O terceiro lado pode ser obtido pela mesma razão.
Uma altura explica a fórmula
Para altura h sobre o lado c, obtemos h=b·sen A=a·sen B. Portanto, a/sen A=b/sen B, uma parte da Lei dos Senos.
O caso com duas respostas
Se A=30°, a=5 e b=8, sen B=b sen A/a=0,8. São possíveis B≈53,13° e B≈126,87°; ambos deixam soma A+B menor que 180°.
Área com dois lados e ângulo
Se b=6 cm, c=8 cm e A=30°, a área é S=(bc sen A)/2=(6·8·0,5)/2=12 cm², usando a altura associada ao ângulo A.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Lei dos Senos
A Lei dos Senos serve para qualquer triângulo?
Sim, vale para todo triângulo plano não degenerado, retângulo ou oblíquo, desde que lados e ângulos opostos sejam associados corretamente.
O que significa o número 2R na fórmula?
É o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo, cuja borda passa por seus três vértices.
Por que a calculadora pode mostrar só uma solução?
A função inversa do seno retorna um valor principal; no caso LLA, o ângulo suplementar também pode ser válido.
Quando prefiro a Lei dos Cossenos?
Quando conheço dois lados e o ângulo entre eles ou os três lados, a Lei dos Cossenos costuma oferecer o primeiro cálculo direto.
Posso usar a fórmula para encontrar uma área?
Sim. A partir da relação altura igual a lado vezes seno, obtemos a área como metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles.
Como saber se as medidas são impossíveis?
Confira se o seno calculado fica entre zero e um e se os ângulos candidatos somam menos de 180 graus com o ângulo dado.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.1 Non-right Triangles: Law of Sines — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e
- 10.2 Non-right Triangles: Law of Cosines — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e