Lei dos Cossenos: Fórmula, Prova e Exercícios
Aprenda a Lei dos Cossenos para descobrir lados e ângulos de triângulos oblíquos, com demonstração geométrica, exemplos e exercícios resolvidos.
O que você vai aprender
- Relacionar os três lados ao cosseno do ângulo oposto
- Demonstrar a lei por projeções e pelo Teorema de Pitágoras
- Escolher entre os casos LAL e LLL e conferir os resultados
Entenda o assunto
A Lei dos Cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo plano. O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produto destes pelo cosseno do ângulo que formam.
Com a, b e c como lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, usamos a²=b²+c²−2bc cos A. O ângulo A fica entre os lados b e c, informação essencial para empregar a fórmula corretamente.
Qual é o enunciado da Lei dos Cossenos?
Dado um triângulo com lados a, b e c opostos aos ângulos A, B e C, vale a²=b²+c²−2bc cos A. Há três formas equivalentes, uma para cada ângulo, obtidas por troca das letras correspondentes.
O termo −2bc cos A corrige a soma de quadrados conforme a abertura entre b e c. Se A for agudo, o cosseno é positivo; se for obtuso, é negativo; se for reto, é zero.
Como identificar o ângulo compreendido?
O ângulo A é formado pelos lados b e c, pois os dois se encontram no vértice A. O lado a fica diante dele. O mesmo raciocínio vale para B entre a e c, e para C entre a e b.
Se um desenho apresentar dois lados e um ângulo que não está entre eles, não se trata do caso LAL. Será preciso considerar outras ferramentas e examinar possíveis ambiguidades.
Como demonstrar a fórmula com Pitágoras?
Coloque o lado c sobre o eixo horizontal, com vértices A=(0,0), B=(c,0) e C=(b cos A,b sen A). A distância entre B e C é o lado a.
Pela fórmula da distância e pela identidade sen²A+cos²A=1, temos a²=(c−b cos A)²+(b sen A)²=c²−2bc cos A+b². Essa é a Lei dos Cossenos, válida também para ângulos obtusos.
Quando usar o caso LAL?
Se conhecemos b, c e o ângulo interno A formado entre esses lados, os três dados determinam um único triângulo quando A está entre 0° e 180°. Substituímos diretamente na expressão de a².
Exemplo: b=5, c=7 e A=60°. Obtemos a²=25+49−35=39, logo a=√39. O resultado deve ser positivo e menor que a soma de b e c.
Como descobrir um ângulo com os três lados?
Se os comprimentos a, b e c satisfazem as desigualdades triangulares, podemos isolar cos A=(b²+c²−a²)/(2bc). Depois aplicamos o arco cosseno para obter A entre 0° e 180°.
Em um triângulo 3–4–5 com a=5, b=3 e c=4, o numerador é zero e A=90°. Esse método não apresenta duas respostas possíveis para o mesmo ângulo interno.
Por que Pitágoras é um caso especial?
Em qualquer triângulo retângulo, o ângulo entre os catetos mede 90°. Como cos90°=0, o termo de correção desaparece e a Lei dos Cossenos se reduz à soma dos quadrados dos catetos.
Para ângulos menores que 90°, o lado oposto fica menor do que no triângulo reto de mesmos lados adjacentes. Para ângulos maiores, o lado oposto fica maior, conforme o sinal do cosseno.
O que muda para um ângulo obtuso?
Ângulos entre 90° e 180° têm cosseno negativo. Assim, em a²=b²+c²−2bc cos A o último termo acrescenta uma quantidade positiva; por isso o lado oposto a A tende a ser maior.
Com b=c=6 e A=120°, cos120°=−1/2, então a²=36+36+36=108, o que dá a=6√3. Essa medida é maior que cada um dos dois outros lados.
Como conferir se existe um triângulo?
Para três comprimentos positivos constituírem um triângulo não degenerado, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Em particular, o maior deve ser estritamente menor que a soma dos menores.
Comprimentos 2, 3 e 6 não formam triângulo porque 2+3 não alcança 6. Antes de usar arccos, verifique essa condição e a faixa de valores válida do cosseno.
Onde a Lei dos Cossenos é aplicada?
A Lei dos Cossenos determina a separação entre pontos alcançados por trajetos em direções distintas, mesmo quando nenhum triângulo retângulo está desenhado. Também é usada em topografia e em problemas de geometria plana.
Se duas pessoas partem da mesma origem, percorrem 10 km cada uma, e seus trajetos formam 60°, a distância entre elas é 10 km. A unidade da resposta é comprimento, e não área.
Como escolher a fórmula e evitar erros?
Um erro comum é usar o ângulo oposto em vez do ângulo entre os dois lados conhecidos; outro é esquecer que o cosseno de um ângulo obtuso é negativo. Se trabalhar em graus, use a calculadora no modo DEG.
Escolha a Lei dos Cossenos para LAL ou LLL; para dois ângulos e um lado, a Lei dos Senos geralmente é mais simples. Verifique a coerência do resultado com a ordem dos lados e ângulos.
Passo a passo
- 01
Identifique os lados a, b, c e seus ângulos opostos A, B, C no desenho.
- 02
Se tiver dois lados e o ângulo entre eles (LAL), escolha a forma com esse ângulo e calcule o terceiro lado.
- 03
Se tiver os três lados (LLL), isole o cosseno e use arccos para encontrar o ângulo.
- 04
Confira se os lados satisfazem a desigualdade triangular e se ângulo e lado maior são coerentes.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Ângulo de 60° entre dois lados
Com b=5, c=7 e A=60°, a²=25+49−2·5·7·(1/2)=39. Portanto, a=√39, aproximadamente 6,24 unidades.
A forma de Pitágoras
Se A=90°, cos90°=0 e a²=b²+c². Para b=3 e c=4, a=5, mostrando que Pitágoras é um caso particular.
Ângulo obtuso de 120°
Se b=c=6 e A=120°, a²=36+36−72·(−1/2)=108. Assim, a=6√3; o lado oposto ao ângulo obtuso é o maior.
Encontrar um ângulo pelos três lados
Com a=5, b=3 e c=4, cos A=(9+16−25)/(2·3·4)=0. Logo, A=90°.
Verificar as medidas do triângulo
Se os lados são 2, 3 e 6, não existe triângulo: 2+3<6. A fórmula não deve ser usada para fabricar um ângulo inválido.
Lado oposto a 30°
Se b=8 e c=8 e A=30°, a²=64+64−128·cos30°=128−64√3. O comprimento é √(128−64√3).
Distância entre dois trajetos
Dois deslocamentos de 10 km e 10 km, partindo do mesmo ponto com abertura de 60°, deixam as extremidades a √(100+100−200·1/2)=10 km uma da outra.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos vale para triângulos retângulos?
Sim. Quando o ângulo compreendido mede 90 graus, o cosseno é zero e a fórmula se transforma no Teorema de Pitágoras.
Quando devo escolher a Lei dos Cossenos?
Nos casos com dois lados e o ângulo compreendido, ou com as medidas dos três lados, ela costuma ser a ferramenta direta.
Como achar um ângulo conhecendo todos os lados?
Isole cos A=(b²+c²−a²)/(2bc), confira se os lados formam um triângulo e calcule o ângulo com arccos.
Por que o sinal muda para um ângulo obtuso?
Porque o cosseno de um ângulo obtuso é negativo; o termo subtraído na fórmula passa a aumentar o quadrado do lado oposto.
A fórmula determina sempre um triângulo válido?
Não. As medidas devem obedecer à desigualdade triangular, e os ângulos internos devem estar entre zero e 180 graus.
Como Lei dos Senos e Lei dos Cossenos se complementam?
A Lei dos Cossenos pode fornecer um lado primeiro; depois, a Lei dos Senos ajuda a encontrar outros ângulos ou lados.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 10.2 Non-right Triangles: Law of Cosines — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e
- 10.1 Non-right Triangles: Law of Sines — OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e