Semelhança de Triângulos: Critérios, Razão e Exercícios
Entenda semelhança de triângulos, critérios AA, LAL e LLL, razão entre lados, escalas de perímetros e áreas, com demonstrações, exemplos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Identificar lados e ângulos correspondentes
- Usar os critérios AA, LAL e LLL
- Resolver proporções, escalas e áreas de figuras semelhantes
Entenda o assunto
Triângulos semelhantes preservam seus ângulos e mantêm lados correspondentes proporcionais. Nesta aula, os cálculos são acompanhados de justificativas geométricas e aplicações em situações concretas.
Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos correspondentes e seus lados correspondentes mantêm uma razão constante. Eles podem ter tamanhos diferentes, mas preservam a forma.
O que são triângulos semelhantes?
Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos correspondentes e seus lados correspondentes mantêm uma razão constante. Eles podem ter tamanhos diferentes, mas preservam a forma.
A escrita ABC ~ DEF informa a ordem dos vértices correspondentes: A com D, B com E e C com F. Por isso AB/DE = BC/EF = AC/DF. Ler a correspondência corretamente é o primeiro passo de qualquer cálculo.
Como encontrar a razão de semelhança?
A razão de semelhança k é a divisão entre o comprimento de um lado no segundo triângulo e o lado correspondente no primeiro. Por exemplo, um triângulo 3–4–5 ampliado para 6–8–10 tem k=2.
Use sempre a mesma direção para dividir: novo/antigo ou maior/menor. Se k=2 todos os lados dobram; se k=1/2 todos são reduzidos à metade. Razões misturadas invalidam a proporção.
Critério AA: dois ângulos bastam
Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois ângulos correspondentes com medidas iguais (AA). O terceiro ângulo também coincide, pois a soma dos ângulos internos é 180° em cada triângulo plano.
O critério AA funciona mesmo sem conhecer nenhuma medida de lado. Por exemplo, dois triângulos com ângulos 40° e 60° necessariamente têm o terceiro ângulo de 80° e são semelhantes.
Critério LAL de semelhança
No critério LAL, dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo compreendido entre eles é igual. A posição do ângulo importa: comparar ângulos que não ficam entre os dois lados não atende ao critério.
Se dois lados de um triângulo medem 3 e 4, e os correspondentes do outro medem 6 e 8, ambos com ângulo incluído de 50°, temos razão 2 e semelhança por LAL.
Critério LLL e as três proporções
No critério LLL, três razões de lados correspondentes devem ser iguais. É suficiente verificar que todos os três lados são proporcionais; as medidas angulares acompanham essa proporção.
Um triângulo de lados 3, 4 e 5 é semelhante a outro de lados 9, 12 e 15, pois todas as razões do segundo para o primeiro são 3. Um único par proporcional não é suficiente.
O que acontece com perímetros e áreas?
Se cada comprimento é multiplicado por k, o perímetro também é multiplicado por k. Já a área é multiplicada por k², porque envolve duas dimensões lineares. Essa diferença é essencial ao lidar com escalas.
Quando o lado de um triângulo dobra, seu perímetro dobra, mas sua área quadruplica. Quando os lados ficam três vezes maiores, a área fica nove vezes maior — não apenas três vezes.
Qual a relação entre semelhança e congruência?
Triângulos congruentes possuem todos os lados e ângulos correspondentes iguais; são semelhantes com razão k=1. Porém, triângulos semelhantes com k diferente de 1 não são congruentes.
Semelhança preserva forma, ângulos e proporções; congruência preserva também as medidas absolutas. Uma fotografia ampliada e sua versão menor ilustram semelhança, não congruência, salvo se estiverem na mesma escala.
Aplicações com sombras e plantas em escala
Quando raios solares podem ser aproximados como paralelos, a altura de um objeto vertical e o comprimento de sua sombra formam um triângulo semelhante ao de outro objeto observado no mesmo instante.
Uma pessoa de 2 m projeta sombra de 3 m enquanto uma árvore projeta sombra de 9 m: altura da árvore/9 = 2/3; logo sua altura é 6 m, supondo piso horizontal e iluminação comparável.
Como montar uma proporção sem errar?
Marque visualmente os ângulos iguais ou os lados correspondentes antes de calcular. Escreva primeiro as duas sequências de comprimentos na mesma ordem, como pequeno/grande para todos os pares.
Depois multiplique em cruz apenas se a proporção estiver correta. Por exemplo, 4/10=x/25 implica 10x=100 e x=10. Conferir as razões 0,4 e 0,4 ajuda a detectar erros de montagem.
Contexto histórico e limites de aplicação
A semelhança é parte central da geometria euclidiana e foi usada historicamente em medições indiretas. Relatos tradicionais associam a Tales de Mileto métodos geométricos para estimar alturas por sombras, embora a atribuição histórica de descobertas específicas exija cautela.
As relações aqui apresentadas pressupõem triângulos em geometria euclidiana plana. Desenhos fora de escala, perspectivas fotográficas e medições sob raios não paralelos podem quebrar as condições simplificadas de um problema de sala de aula.
Passo a passo
- 01
Marque quais vértices e ângulos correspondem nos dois triângulos.
- 02
Verifique o critério AA, LAL ou LLL para justificar a semelhança.
- 03
Organize os lados correspondentes na mesma ordem e determine a razão k.
- 04
Calcule o lado procurado e confira se a escala faz sentido.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Ampliação 3–4–5 para 6–8–10
Os lados correspondentes são 3 e 6, 4 e 8, 5 e 10. Todas as razões novo/antigo valem 2, logo os triângulos são semelhantes com fator de ampliação k=2.
Lado desconhecido por proporção
Duas figuras semelhantes têm lados correspondentes 4 e 10, e outro par x e 25. Escrevendo 4/10=x/25, obtemos 10x=100, portanto x=10 unidades.
Semelhança por dois ângulos
O primeiro triângulo tem ângulos 40° e 60°; o segundo também tem 40° e 60°. O terceiro ângulo de ambos vale 80°. Assim, são semelhantes pelo critério AA.
Perímetros em uma ampliação
Se o perímetro original é 20 cm e todos os lados triplicam, a razão é k=3; o perímetro do segundo triângulo fica 3×20=60 cm.
A área muda com o quadrado da escala
Um triângulo de área 5 cm² tem seus lados duplicados. Como k=2, a nova área é 5×2²=20 cm². O perímetro, porém, dobra.
Altura de árvore por sombra
Uma pessoa de 2 m projeta sombra de 3 m; uma árvore projeta 9 m. Os triângulos são semelhantes: H/9=2/3. Portanto H=6 m.
Triângulos com lados 6, 8, 10 e 15, 20, 25
A razão dos lados correspondentes é 15/6=20/8=25/10=2,5. Os triângulos são semelhantes por LLL; o maior tem catetos 15 e 20 e hipotenusa 25.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Semelhança de Triângulos
Como saber se dois triângulos são semelhantes?
Verifique AA (dois ângulos correspondentes), LAL (dois lados proporcionais com ângulo incluído igual) ou LLL (três pares de lados proporcionais).
Triângulos semelhantes precisam ter o mesmo tamanho?
Não. Eles têm a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes. Só são também congruentes quando o fator de escala é igual a 1.
O que é razão de semelhança?
É o quociente constante entre lados correspondentes de duas figuras; use a mesma ordem de comparação em todos os pares.
A área aumenta na mesma razão que os lados?
Não. Se os lados são multiplicados por k, perímetros crescem por k e áreas por k². Dobrar um lado em toda a figura quadruplica sua área.
Posso usar semelhança para calcular altura de árvore?
Sim, usando sombras de objetos verticais observadas sob condições equivalentes de iluminação e piso, para formar triângulos semelhantes.
Basta um par de lados proporcionais?
Não. Um único par de lados proporcionais não garante a mesma forma; é necessário satisfazer algum critério válido de semelhança.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem — OpenStax — Prealgebra 2e
- 10.3 Triangles — OpenStax — Contemporary Mathematics