Teorema de Tales: Fórmula, Demonstração e Exercícios
Aprenda o Teorema de Tales com retas paralelas e transversais: segmentos proporcionais, demonstração pela semelhança, problemas resolvidos e exercícios comentados.
O que você vai aprender
- Identificar paralelas, transversais e segmentos correspondentes
- Montar proporções com partes e comprimentos totais
- Explicar e aplicar a recíproca do Teorema de Tales
Entenda o assunto
O Teorema de Tales relaciona os comprimentos de segmentos determinados por retas paralelas em transversais. Nesta aula, os cálculos são acompanhados de justificativas geométricas e aplicações em situações concretas.
Na formulação escolar brasileira, o Teorema de Tales afirma que um conjunto de retas paralelas determina segmentos proporcionais quando intercepta duas ou mais retas transversais. A proporcionalidade compara trechos correspondentes.
O que diz o Teorema de Tales?
Na formulação escolar brasileira, o Teorema de Tales afirma que um conjunto de retas paralelas determina segmentos proporcionais quando intercepta duas ou mais retas transversais. A proporcionalidade compara trechos correspondentes.
Em um triângulo ABC, com D em AB e E em AC e segmento DE paralelo a BC, podemos escrever AD/DB = AE/EC. Também vale AD/AB = AE/AC = DE/BC porque os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
Por que a condição de paralelismo é indispensável?
As paralelas criam ângulos correspondentes iguais nas transversais. Essa igualdade possibilita a semelhança dos triângulos recortados e, portanto, a proporcionalidade entre os segmentos.
Sem a informação de que as retas são paralelas, não podemos concluir a relação apenas olhando um desenho. Medidas aparentemente semelhantes numa figura não substituem a hipótese de paralelismo.
Como identificar os segmentos correspondentes?
No triângulo ABC com DE paralelo à base BC, os lados AB e AC são divididos em AD, DB e AE, EC, respectivamente. As duas parcelas superiores se correspondem; as duas inferiores também.
Assim, AD/DB = AE/EC, ou ainda AD/AE = DB/EC, com inversões consistentes. Misturar um trecho com o comprimento total em somente um dos lados produz uma proporção incorreta.
Demonstração a partir da semelhança de triângulos
Como DE é paralelo a BC, os ângulos ADE e ABC são iguais, assim como AED e ACB. O ângulo A é comum. Portanto os triângulos ADE e ABC são semelhantes por AA.
Da semelhança segue AD/AB = AE/AC. Como AB=AD+DB e AC=AE+EC, a igualdade AD/(AD+DB)=AE/(AE+EC) leva, por multiplicação cruzada e simplificação, a AD·EC=AE·DB.
Quando comparar parte com parte e parte com total?
Se o problema fornece AD e DB, o lado AB inteiro é AD+DB. Quando a fórmula usa AD/AB, coloque o total no denominador — não a parte inferior DB.
Por exemplo, AD=3 e DB=2 fornecem AB=5. Se AE=6 e EC=4, então AC=10. Verificamos AD/AB=3/5 e AE/AC=6/10, ambas iguais a 0,6.
Aplicação algébrica com incógnita
Com AD=2, DB=3, AE=8 e EC=x, a relação 2/3=8/x implica 2x=24, logo x=12. Observe que comparamos as duas partes acima e as duas abaixo das paralelas.
É útil analisar se o resultado é razoável: como AE é quatro vezes AD, o segmento EC deve ser quatro vezes DB. Portanto 3×4=12 confirma a mesma resposta.
Comprimento de um segmento paralelo à base
Em um triângulo, o segmento DE paralelo à base BC tem a mesma razão de escala que os lados: DE/BC=AD/AB=AE/AC. Assim, é possível encontrar a medida da paralela por proporção direta.
Se DE=5, BC=15 e AD=4, temos AD/AB=5/15=1/3, então AB=12. Esse cálculo utiliza semelhança; não é válido para uma reta DE arbitrária.
A recíproca do Teorema de Tales
Se D e E pertencem aos lados AB e AC de um triângulo e dividem esses lados proporcionalmente, podemos concluir que DE é paralelo a BC, nas condições usuais da geometria plana.
Por exemplo, AD/DB=3/2 e AE/EC=6/4 representam a mesma razão. Se D e E estão nos respectivos lados do triângulo, a recíproca garante DE paralelo a BC.
Onde o Teorema de Tales é usado?
O teorema aparece em mapas, projetos de arquitetura, medições indiretas e problemas de geometria com várias paralelas. Uma malha de linhas paralelas permite descobrir distâncias que não foram medidas diretamente.
Essas aplicações exigem preservar a correspondência dos segmentos e as hipóteses geométricas. Em fotografias inclinadas, por exemplo, linhas aparentemente paralelas podem não representar medidas diretamente proporcionais.
História, terminologia e outros teoremas de Tales
O nome homenageia Tales de Mileto, associado tradicionalmente a resultados geométricos da Antiguidade. A autoria histórica de uma primeira demonstração específica não deve ser tratada como fato comprovado por essa tradição.
Em outras tradições matemáticas, “teorema de Tales” também pode designar a propriedade do ângulo reto inscrito em uma semicircunferência. Aqui usamos explicitamente a versão brasileira das retas paralelas e transversais.
Passo a passo
- 01
Identifique as retas paralelas e as duas transversais no enunciado.
- 02
Nomeie os segmentos que estão entre as mesmas paralelas.
- 03
Monte uma proporção com as partes correspondentes ou com os comprimentos totais.
- 04
Resolva a equação e confira a coerência das razões.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Partes proporcionais
Com AD=3, DB=2, AE=6 e EC=x, escrevemos 3/2=6/x. Multiplicando em cruz, 3x=12 e x=4. Conferimos que as razões são ambas 1,5.
Parte e lado inteiro
Se AD=4, AB=10, AE=6 e AC=x, a semelhança dá 4/10=6/x. Logo 4x=60 e AC=15 unidades.
Outro segmento inferior
Com AD=2, DB=3, AE=8 e EC=x, usamos 2/3=8/x. Assim, 2x=24 e o segmento inferior desconhecido mede 12.
Paralela interna e base
Se DE=5, BC=15 e AD=4, DE/BC=AD/AB significa 1/3=4/AB; portanto AB=12. Somamos partes apenas se necessário.
Comprimento de AE
Se AD=6, AB=9, AC=15, temos AD/AB=AE/AC. Assim, 6/9=AE/15, e AE=10.
Recíproca e paralelismo
Se D e E estão nos lados AB e AC e AD=3, DB=2, AE=6 e EC=4, as proporções 3/2 e 6/4 coincidem; pela recíproca, DE é paralelo a BC.
Malha de paralelas
Duas transversais são cortadas pelas mesmas paralelas. Trechos de uma medem 4 e 6; os trechos correspondentes da outra medem 8 e x. Então 4/6=8/x e x=12.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Teorema de Tales
Qual é a fórmula do Teorema de Tales?
Para D em AB e E em AC, com DE paralelo a BC, vale AD/DB=AE/EC. Também é válida a igualdade AD/AB=AE/AC.
O que são transversais?
São retas que interceptam um conjunto de retas paralelas; os segmentos determinados entre as mesmas paralelas são proporcionais.
O Teorema de Tales funciona sem retas paralelas?
Não se pode aplicar diretamente o teorema sem a hipótese de paralelismo ou sem outra condição que garanta semelhança.
Como escolher a proporção correta?
Alinhe as partes superiores com superiores, inferiores com inferiores e totais com totais; mantenha a mesma direção das razões.
O que é a recíproca do Teorema de Tales?
É a conclusão de paralelismo a partir de divisões proporcionais dos dois lados de um triângulo, com os pontos pertencendo aos lados correspondentes.
Teorema de Tales é igual a semelhança de triângulos?
São conceitos conectados: as paralelas produzem ângulos iguais e triângulos semelhantes, o que explica a proporcionalidade dos segmentos.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- Section 1.1: Thales’ Theorem — East Tennessee State University — Geometry notes
- 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem — OpenStax — Prealgebra 2e