Múltiplos e Divisores: regras, MMC, MDC e exercícios
Entenda como identificar múltiplos e divisores, reconhecer números primos, usar critérios de divisibilidade e calcular MMC e MDC.
O que você vai aprender
- Reconhecer múltiplos, divisores e pares de fatores
- Aplicar critérios de divisibilidade e identificar números primos
- Calcular MMC e MDC em problemas de ciclos e agrupamentos
Entenda o assunto
Os múltiplos de um número natural são os resultados de multiplicá-lo por números naturais. Já os divisores naturais são os números não nulos que dividem uma quantidade sem deixar resto. Por exemplo, 24 é múltiplo de 6 e 6 é divisor de 24.
Esse estudo ajuda a repartir quantidades, simplificar frações e resolver situações de repetição periódica. Os conceitos de máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC) atendem a perguntas diferentes.
Qual é a diferença entre múltiplos e divisores?
Um múltiplo de 4 pode ser obtido multiplicando 4 por um número natural: 0, 4, 8, 12 e assim por diante. Já um divisor positivo de 12 é um número que, ao dividir 12, produz quociente inteiro e resto zero.
As duas ideias são relacionadas: se 12 = 3 × 4, então 12 é múltiplo de 3 e de 4, enquanto 3 e 4 são divisores de 12. Não inverta o sentido de frases como “é divisível por” e “é múltiplo de”.
Como encontrar os múltiplos de um número?
Multiplique o número escolhido por 0, 1, 2, 3 e por outros números naturais, conforme a convenção escolar utilizada. Para 7, aparecem 0, 7, 14, 21, 28 e assim por diante; os múltiplos positivos começam em 7.
Existe uma quantidade ilimitada de múltiplos positivos de qualquer inteiro positivo. Por isso, questões sobre o “menor múltiplo comum” especificam o menor múltiplo positivo: se permitíssemos zero, ele seria múltiplo de todos e não resolveria o problema.
Como identificar todos os divisores de um número?
Para descobrir divisores positivos de 24, forme pares de fatores: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 e 4 × 6. Todos esses fatores dividem 24 sem deixar resto; a lista completa fica 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Verificar pares economiza tempo e evita esquecimentos. O zero nunca pode ser divisor, pois a divisão por zero não é definida. Ao tratar de divisores de inteiros, também existem os correspondentes negativos; aqui priorizamos os divisores positivos.
Quais são os critérios de divisibilidade mais usados?
Um número inteiro é divisível por 2 se termina em algarismo par; por 5 se termina em 0 ou 5; por 10 se termina em 0. O critério do 3 usa a soma dos algarismos: 372 é divisível por 3, pois 3+7+2=12.
Para verificar divisibilidade por 6, o número deve ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Essas regras simplificam contas, mas não substituem o conceito: o divisor precisa produzir resto zero. Não confunda um critério com uma regra de arredondamento.
O que são números primos e compostos?
Um número natural maior que 1 é primo quando tem exatamente dois divisores positivos: o número 1 e ele mesmo. São exemplos 2, 3, 5, 7, 11 e 13. O 2 é o único primo par, pois qualquer outro par maior que 2 é divisível por 2.
Um número composto maior que 1 tem mais de dois divisores positivos, como 12. O número 1 não é primo nem composto. Saber identificar primos permite decompor números e entender por que os algoritmos de MMC e MDC funcionam.
Como fazer a decomposição em fatores primos?
A decomposição em fatores primos escreve um inteiro maior que 1 como produto de números primos. Para 36, podemos dividir sucessivamente por 2, depois por 2 e depois por 3 e 3, chegando à escrita 36 = 2² × 3².
A ordem dos fatores não altera o produto. Pela unicidade da fatoração, cada inteiro maior que 1 tem uma decomposição em primos determinada, desconsiderando a ordem. Isso fundamenta vários métodos escolares para encontrar MMC e MDC.
O que é MDC e como calcular o máximo divisor comum?
O máximo divisor comum de dois números positivos é o maior inteiro positivo que divide ambos sem deixar resto. Para 18 e 24, os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6; portanto o MDC é 6.
Pela fatoração prima, selecionamos os fatores que aparecem em ambos com o menor expoente. Como 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3, o produto compartilhado é 2 × 3 = 6. O MDC serve, por exemplo, para formar grupos iguais de tamanho máximo.
O que é MMC e como calcular o mínimo múltiplo comum?
O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos é o menor número positivo divisível por ambos. Para 6 e 8, os múltiplos positivos começam em 6, 12, 18, 24... e em 8, 16, 24...; a primeira coincidência é 24.
Pela fatoração prima, utilizamos todos os fatores que aparecem nos números com os maiores expoentes. Como 6 = 2 × 3 e 8 = 2³, temos MMC(6,8) = 2³ × 3 = 24. Esse método funciona para mais de dois números.
Quando usar MMC e quando usar MDC em problemas?
Se duas atividades se repetem a cada 4 e 6 dias e coincidem hoje, elas voltarão a coincidir após o MMC(4,6) = 12 dias. O foco está no primeiro tempo positivo que atende aos dois ciclos simultaneamente.
Se temos 18 cartões vermelhos e 24 azuis e desejamos montar o maior número possível de kits idênticos sem sobras, usamos MDC(18,24) = 6: serão seis kits, cada um com três vermelhos e quatro azuis. Leia o contexto para decidir a operação.
Resumo dos cuidados com múltiplos e divisores
É comum confundir múltiplos com divisores, declarar 1 como primo ou esquecer que zero não pode ser divisor. Também é incorreto usar o MMC quando a pergunta exige dividir uma quantidade em grupos iguais do maior número possível.
Para conferir, pergunte: procuro um número que será dividido pelos valores dados ou um número que dividirá os valores dados? O primeiro caso geralmente indica MMC e o segundo geralmente indica MDC, mas a interpretação do problema é essencial.
Passo a passo
- 01
Identifique se o problema pede números obtidos pela multiplicação (múltiplos) ou fatores que dividem exatamente uma quantidade (divisores).
- 02
Para listar divisores, teste pares de fatores e confirme que a divisão tem resto zero.
- 03
Use regras como algarismo final e soma dos algarismos para identificar rapidamente alguns casos de divisibilidade.
- 04
Para obter o MDC, busque o maior divisor compartilhado; para o MMC, procure o menor múltiplo positivo compartilhado.
- 05
Confira o resultado substituindo no contexto do problema, seja uma repetição de ciclos ou uma divisão em grupos.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Listando múltiplos
Os primeiros múltiplos não negativos de 5 são 0, 5, 10, 15, 20 e 25. Eles aparecem ao multiplicar 5 por 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Encontrando divisores
Os divisores naturais positivos de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Cada um forma um par de fatores cujo produto é 18.
Divisibilidade por 3
O número 234 é divisível por 3 porque 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é múltiplo de 3. De fato, 234 ÷ 3 = 78.
Decomposição em fatores primos
O número 60 pode ser escrito como 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. A decomposição ajuda a identificar divisores e calcular MMC e MDC.
Calculando o MDC
Como os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6, o maior é 6. Portanto, MDC(12,18) = 6.
Calculando o MMC
Os múltiplos positivos de 4 são 4, 8, 12... e os de 6 são 6, 12, 18... O primeiro múltiplo positivo comum é 12; MMC(4,6) = 12.
Problema de encontros
Duas atividades repetem a cada 6 e 8 dias e coincidem hoje. Voltarão a coincidir após MMC(6,8) = 24 dias, supondo períodos constantes.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Múltiplos e Divisores
O que significa ser múltiplo de um número?
Um número é múltiplo de outro quando pode ser obtido por multiplicação por um inteiro, no contexto escolar dos naturais. Por exemplo, 21 é múltiplo de 7 porque 7 × 3 = 21.
O zero é múltiplo de qualquer número?
Sim. Como 0 = n × 0 para qualquer inteiro n, zero é múltiplo de todos os inteiros. Por isso, o MMC é definido como o menor múltiplo comum positivo.
O zero pode ser divisor de um número?
Não. Divisão por zero não é definida. A lista de divisores positivos de um inteiro contém apenas números maiores que zero.
Por que o número 1 não é primo?
Um primo tem exatamente dois divisores positivos distintos. O número 1 possui apenas um, portanto não pertence nem aos primos nem aos compostos.
Quando usamos MMC em vez de MDC?
Usamos MMC para descobrir o menor múltiplo positivo compartilhado, como encontros de períodos; usamos MDC para descobrir o maior divisor comum, como divisão de quantidades em kits iguais.
Existe relação entre MMC e MDC?
Para dois inteiros positivos, vale MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b. Por exemplo, para 6 e 8, temos 2 × 24 = 48 = 6 × 8.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 2.4 Find Multiples and Factors — Prealgebra 2e — OpenStax, Rice University
- Chapter 2 Key Concepts — Prealgebra — OpenStax, Rice University