Sistemas de Equações do 1º Grau: métodos e exercícios
Aprenda o que é um sistema de equações do primeiro grau e como resolver por substituição, adição e interpretação gráfica.
O que você vai aprender
- Interpretar a solução como par ordenado que satisfaz duas equações
- Resolver sistemas por substituição e eliminação
- Identificar os casos de nenhuma, uma ou infinitas soluções
Entenda o assunto
Um sistema de equações do primeiro grau reúne igualdades lineares que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo; sua solução é um par ordenado (x, y) que atende às condições.
Os métodos de substituição e eliminação permitem encontrar esse par por operações equivalentes. A interpretação gráfica mostra que a solução é o ponto de encontro das retas quando há uma única interseção.
O que é um sistema de equações do 1º grau?
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas reúne duas condições lineares que precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. Cada equação envolve duas variáveis, como x e y, e restringe os valores possíveis para elas.
Por exemplo, o sistema x + y = 10 e x − y = 2 pede um par (x, y) que torne as duas igualdades verdadeiras. O par (6, 4) resolve ambas: 6 + 4 = 10 e 6 − 4 = 2.
O que significa ser solução de um sistema?
A solução costuma ser apresentada como um par ordenado (x, y). Ele informa o valor da primeira variável e depois o da segunda. Para conferir um resultado, devemos substituir o par nas duas equações originais, não em apenas uma.
Se encontrarmos (5, 3) para as equações x + y = 8 e x − y = 2, a verificação funciona: 5 + 3 = 8 e 5 − 3 = 2. A resposta isolada x = 5 seria incompleta porque ainda faltaria indicar y.
Como funciona o método da substituição?
No método da substituição, isolamos uma das incógnitas em uma equação e substituímos sua expressão na outra. Dessa maneira, uma igualdade com duas letras se transforma em uma equação de primeiro grau com uma variável.
No sistema x + y = 9 e x − y = 1, escrevemos y = 9 − x. Substituindo na segunda, x − (9 − x) = 1, então 2x = 10 e x = 5. Voltando à primeira, y = 4.
Como resolver pelo método da adição ou eliminação?
A eliminação combina equações para cancelar uma incógnita. Quando os coeficientes de uma letra são opostos, podemos somar as equações diretamente e obter uma igualdade com uma única variável.
Em x + y = 9 e x − y = 1, somando membro a membro temos 2x = 10, logo x = 5. Substituindo na primeira igualdade, y = 4. Isso preserva as duas condições do sistema.
Quando precisamos multiplicar uma equação antes de eliminar?
Quando os coeficientes de uma incógnita não são opostos, podemos multiplicar ambos os membros de uma das equações por um mesmo número não nulo. Essa transformação cria coeficientes que se cancelam na soma.
No sistema 2x + y = 11 e x + 2y = 10, multiplique a primeira por −2: −4x − 2y = −22. Somando à segunda, −3x = −12, então x = 4 e y = 3.
Como interpretar graficamente um sistema linear?
Cada equação linear em duas variáveis representa uma reta no plano cartesiano. Quando as retas se cruzam em um único ponto, as coordenadas desse encontro constituem a solução comum das duas equações.
Para x + y = 5 e x − y = 1, as retas se encontram em (3, 2). Isso significa que o ponto pertence simultaneamente às duas retas, pois satisfaz as igualdades 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1.
Um sistema sempre tem uma única solução?
Não. Duas retas distintas que se cruzam representam um sistema com solução única. Retas paralelas e distintas não têm ponto em comum, então formam um sistema impossível, sem solução.
Quando duas equações descrevem a mesma reta, existem infinitos pares que as satisfazem, e o sistema é possível e indeterminado. Por exemplo, x + y = 4 e 2x + 2y = 8 são expressões da mesma condição.
Como transformar um problema em sistema de equações?
Primeiro, escolha claramente o que cada letra representa. Em seguida, traduza cada informação do enunciado em uma equação e só depois escolha substituição ou eliminação para encontrar os valores desconhecidos.
Se dois ingressos, um inteiro e um meia, custam juntos R$ 45 e o ingresso inteiro custa R$ 15 a mais que o meia, escrevemos i + m = 45 e i − m = 15. Assim, i = 30 e m = 15.
Por que conferir as soluções nas duas equações?
Durante as transformações, um erro de sinal pode conduzir a um valor que parece plausível. A substituição do resultado nas equações originais funciona como uma verificação independente das operações realizadas na resolução.
Se o par proposto é (4, 3) para 2x + y = 11 e x + 2y = 10, verificamos 8 + 3 = 11 e 4 + 6 = 10. Somente porque as duas igualdades são verdadeiras o par é solução do sistema.
Quais erros são frequentes em sistemas de equações?
Um erro comum é alterar apenas um lado da equação durante uma multiplicação ou esquecer que o sinal de menos diante de parênteses muda todos os sinais internos. Também é necessário evitar misturar os valores de x e y ao apresentar o par.
Escolha o método mais conveniente: substituição quando uma incógnita já está isolada; eliminação quando os coeficientes se cancelam facilmente; representação gráfica para interpretar. Ao final, sempre confira o par encontrado.
Passo a passo
- 01
Leia as duas igualdades e identifique o significado das variáveis x e y.
- 02
Escolha substituição se uma variável estiver isolada, ou eliminação se os coeficientes puderem ser cancelados.
- 03
Resolva a equação resultante com uma só incógnita.
- 04
Encontre o valor da outra variável usando uma das equações originais.
- 05
Confira o par ordenado nas duas equações, inclusive sinais e unidades do problema.
Exemplos resolvidos
Veja como aplicar o conceito a situações concretas.
Eliminação direta
No sistema x + y = 12 e x − y = 4, somamos: 2x = 16, então x = 8. Da primeira equação, y = 4. Solução (8, 4).
Substituição
No sistema y = x + 2 e x + y = 10, substituímos: x + (x + 2) = 10. Logo 2x = 8, x = 4 e y = 6.
Eliminação com multiplicação
No sistema 2x + y = 11 e x + 2y = 10, multiplicamos a primeira por −2 e somamos à segunda: −3x = −12, x = 4 e y = 3.
Problema de preços
Uma caneta e um caderno custam R$ 18; o caderno custa R$ 10 a mais. Com c + p = 18 e c − p = 10, encontramos c = 14 e p = 4.
Sistema sem solução
x + y = 4 e x + y = 7 não podem valer simultaneamente. As retas são paralelas e distintas: não existe par que resolva as duas.
Infinitas soluções
x + y = 4 e 2x + 2y = 8 representam a mesma condição. Qualquer par que satisfaça a primeira satisfaz também a segunda.
Conferindo um par
O par (3, 2) satisfaz x + y = 5 e x − y = 1, porque 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1; a verificação deve ocorrer nas duas equações.
O que vale lembrar
Hora de praticar
Escolha uma resposta para cada questão e confira a explicação.
Perguntas frequentes: Sistemas de Equações do 1º Grau
O que é um sistema de equações do primeiro grau?
É um conjunto de equações lineares que precisam ser satisfeitas simultaneamente. Para duas incógnitas, buscamos um par ordenado que resolva todas as igualdades.
O que é o método da substituição?
Isolamos uma incógnita em uma equação e inserimos a expressão obtida na outra, reduzindo o problema a uma única variável.
Quando utilizar o método da adição?
É especialmente conveniente quando uma variável já possui coeficientes opostos ou quando é fácil multiplicar uma equação para criá-los.
Todo sistema com duas incógnitas tem solução?
Não. Retas paralelas e distintas não se cruzam e não possuem solução comum; retas coincidentes têm infinitas soluções.
Como conferir a solução de um sistema?
Substitua ambos os valores encontrados nas duas equações originais e confirme que cada igualdade é verdadeira.
Qual é a diferença entre par ordenado e equação isolada?
O par ordenado informa x e y juntos, enquanto informar somente um valor não determina completamente a solução do sistema.
Uma equação pode ser multiplicada por um número antes da eliminação?
Sim, desde que todos os termos dos dois membros sejam multiplicados pelo mesmo número não nulo, preservando a equivalência.
Fontes e referências
Estas fontes ajudam a aprofundar os conceitos apresentados nesta aula. As explicações e os exemplos do UNVRST foram redigidos de forma independente.
- 5.2 Solving Systems of Equations by Substitution — OpenStax — Rice University
- 5.3 Solve Systems of Equations by Elimination — OpenStax — Rice University
- 4.1 Solve Systems of Linear Equations with Two Variables — OpenStax — Rice University